[嵌入式] 电容并联放电电阻的RC 电路时间常数计算，一阶线性常系数微分方程

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[嵌入式]电容并联放电电阻的RC 电路时间常数计算，一阶线性常系数微分方程

就是在谁都知道的RC 电路里的电容旁边并联一个放电电阻，计算它对时间常数的影响，参考下面的示意图：

在这里插入图片描述

电路的输入电压是电源电压V，在R0 和R1 之间连接着一个单片机引脚，所以想计算上电后单片机引脚上电压的变化，也就是输出电压Uo。电容C 通过R0 和R1 充电，R2 放电。

计算

以前电路上好像学了简化方法，叫三要素法，但是我忘光了，所以就从基础开始算。

电容两端的电压公式如下：

${U_c}' = \frac{1}{C} I_c \tag{1}$

即电压对时间的导数和电容量C 成反比，和电流正比。设，经过电容的电流是 $I_c$ ，经过R2 的电流是 $I_2$ ，干路电流 $I_1$ 是两支路之和。因为R2 两端电压和电容电压相等，则：

$I_2 = \frac{U_c}{R_2} \tag{2}$

作用在干路电阻R0 + R1 上的电压又是输入电压V 和电容电压 $U_c$ 之差，于是干路电流就是：

$I_1 = \frac{V - U_c}{R_0 + R_1} \tag{3}$

电容电压就可以表示成：

$\begin{aligned} {U_c}' &= \frac{1}{C} ( I_1 - I_2) \\ &= \frac{1}{C} (\frac{V - U_c}{R_0 + R_1} - \frac{U_c}{R_2}) \end{aligned} \tag{4}$

微分方程的感觉已经有了? 整理一下，变成标准的一阶线性微分方程的形式：

${U_c}' + KU_c = D \tag{5}$

其中，

$\begin{aligned} \begin{cases} K &= \frac{R_0 + R_1 + R_2}{C R_2 (R_0 + R_1)} \\ D &= \frac{V}{C (R_0 + R_1)} \end{cases} \end{aligned} \tag{6}$

可见K 和D 都是和时间无关的常数。高数里讲过，这种微分方程是比较简单的，有标准的解法。

解方程和时间常数

其实这一步已经能看出时间常数是什么了，和标准的一阶系统微分方程比较一下，能看出时间常数就是K 的倒数，电容量C 在分子上，C 越大时间常数越大，也符合常识。不过还是激情的解一遍方程吧。

按照标准方法，首先把方程两边同时处理一下：

$e^{Kt}({U_c}' + K U_c) = e^{Kt}D \tag{7}$

此时方程左边可以逆用导数乘法公式，变成：

$(e^{Kt} \cdot U_c)' = e^{Kt} D \tag{8}$

然后就是两边积分，

$\begin{aligned} ( e^{Kt} U_c ) \vert_0^t &= D \int_0^t e^{Kt} dt \\ &= \frac{D}{K} e^{Kt} \vert_0^t \\ e^{Kt} U_c(t) - U_c(0) &= \frac{D}{K}(e^{Kt} - 1) \end{aligned} \tag{9}$

初始状态电容电压设为0，所以 $U_c(0) = 0$ ，则上式变为：

$\begin{aligned} e^{Kt} U_c(t) &= \frac{D}{K} \cdot (e^{Kt} - 1) \\ U_c(t) &= \frac{D}{K} \cdot (1 - e^{-Kt}) \\ &= \frac{D}{K} \cdot (1 - e^{\frac{-t}{K^{-1}}}) \end{aligned} \tag{10}$

标准的一阶系统阶跃响应是：

$e^{\frac{-t}{T}} \tag{11}$

所以时间常数T 就是 $K^{-1}$ ，也就是K 的倒数，观察一下K 倒数的形式：

$\begin{aligned} K^{-1} = T &= \frac{C R_2 (R_0 + R_1)}{R_0 + R_1 + R_2} \\ &= C[R_2 \parallel (R_0 + R_1)] \end{aligned} \tag{12}$

发现时间常数是C 乘上R2和（R0 + R1）的并联。而式10 前面的系数 $\frac{D}{K}$ 是：

$\frac{D}{K} = \frac{R_2 V}{R_0 + R_1 + R_2} \tag{13}$

也就是R2 和（R0 + R1）的串联分压。

结果

这下就可以考虑输出电压Uo 了，Uo 是电容电压加上R1 的压降：

$\begin{aligned} U_o &= U_c(t) + I_1 R_1 \\ &= U_c(t) + \frac{[V - U_c(t)] R_1}{R_0 + R_1} \\ &= \frac{R_0}{R_0 + R_1} \cdot U_c(t) + \frac{R_1 V}{R_0 + R_1} \end{aligned} \tag{14}$

可见，输出电压Uo 包含一个常数项，就是电源电压V 经过R0 和R1 的分压。也很好理解，在初始状态电容电压为0，就相当于V 经过R0 和R1 接地。

现在回到实际，假设输入电压V = 5V，芯片引脚输入高电平阈值是4V，要计算输出电压上升到4V 的所需时间。假设输出电压初始值低于4V，设那个常数项电压是 $U_r$ ，也就是要算 $U_c(t)$ 上升到4V － $U_r$ 的时间。

$\begin{aligned} U_c(t) &= 4 - U_r \\ \frac{R_2 R_0 V}{(R_0 + R_1 + R_2)(R_0 + R_1)} \cdot (1 - \exp(\frac{-t}{C[R_2 \parallel (R_0 + R_1)]})) &= 4 - \frac{R_1 V}{R_0 + R_1} \end{aligned} \tag{15}$

这个方程，emmm，头皮发麻[doge]，不过忽略那些常数的话结构也不复杂。代换整理一下：

$e^{\frac{-t}{T}}) = U_d \tag{16}$

解得：

$\ln(1 - \frac{U_d}{A}) \tag{17}$

再看一眼参数A 和T，令串联电阻 $R_s = R_0 + R_1$ ，当放电电阻R2 很大时：

$C[R_2 \parallel R_s] \approx C R_s \tag{18}$

也就是当R2 很大时，时间常数主要和串联电阻有关。然后把A 分解回左右两部分：

$\begin{aligned} A = \frac{R_2}{R_2 + R_s} \cdot \frac{R_0 V}{R_s} &\approx (1 - \frac{R_1}{R_s}) V \\ &= (1 - q)V \end{aligned} \tag{19}$

当R2 很大时，左侧因子约等于1，右边因子再换一下形式，把R1 和Rs 的比值记为q，0 < q < 1。于是式17 的解可以写成：

$\begin{aligned} t &= -C R_s \ln(1 - \frac{4 - qV}{V - qV}) \\ &= -C R_s \ln(\frac{V - 4}{V(1 - q)}) \\ &= -C R_s \ln(\frac{1}{5(1 - q)}) \\ &= C R_s \ln(5(1 - q)) \end{aligned} \tag{20}$