[数据结构与算法] 梯度下降求解逻辑回归

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[数据结构与算法]梯度下降求解逻辑回归

梯度下降求解逻辑回归

来自唐宇迪——机器学习视频课的笔记。
Logistic Regression 逻辑回归

首先先看一下理论部分：
在这里插入图片描述
梯度下降：
引入：当我们得到了一个目标函数后，如何进行求解？
直接求解？（并不一定可解，线性回归可以当作是一个特例）

常规套路：机器学习的套路就是交给机器一堆数据，然后告诉它什么样的学习方式是对的（目标函数），然后让它朝着这个方向去做。

如何优化：一步步地完成迭代。（每次优化一点点，积累起来就相当精确了，一般是10000次或者100000次。）
m为样本数。
在这里插入图片描述
小批量梯度下降法中的系数 $\alpha {1\over10}$ 就是批处理数量为10。
我们现在最常用的就是小批量梯度下降法。

学习率一般取0.01，不行就再小。
批处理数量根据内存，能多大就多大，越大结果越精确，目前一般是64。
在这里插入图片描述

下面开始正篇，代码部分：

数据为.txt文件：LogiReg_data.txt，大家可以从我的百度网盘直接下载：
链接：https://pan.baidu.com/s/1D5jS_DTGmU1t3ZrHR8tlvw
提取码：2222

首先是数据和模型描述：

我们将建立一个逻辑回归模型来预测一个学生是否被大学录取。假设你是一个大学系的管理员，你想根据两次考试的结果来决定每个申请人的录取机会。你有以前的申请人的历史数据，你可以用它作为逻辑回归的训练集。对于每一个培训例子，你有两个考试的申请人的分数和录取决定。为了做到这一点，我们将建立一个分类模型，根据考试成绩估计入学概率。

先对数据进行初步分析：

#三大件
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

import os
os.chdir(r'C:\Users\Administrator\Desktop\python数据分析与机器学习实战\自己的学习资料\数据文件') 
# path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'也可以用path方法读入
pdData = pd.read_csv('LogiReg_data.txt', header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
pdData.head()

这边数据的第一行直接就是是样本，所以我们要先指定header为none值，然后再重命名列名，exam1是第一次考试成绩，exam2是第二次考试成绩，admitted是是否被录取。

pdData.shape

看一下数据的维度。
(100, 3)

positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] # returns the subset of rows such Admitted = 1, i.e. the set of *positive* examples
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0] # returns the subset of rows such Admitted = 0, i.e. the set of *negative* examples

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')

指定正例为录取的，即admitted为1的样本，负例为未录取的，即admitted为0的样本。
在这里插入图片描述
接下来我们来实现算法：

The logistic regression

目标：建立分类器（求解出三个参数 𝜃₀ 𝜃₁ 𝜃₂）

设定阈值，根据阈值判断录取结果。

如果设为0.5，则大于0.5被录取，小于0.5未被录取。

要完成的模块

sigmoid : 映射到概率的函数

model : 返回预测结果值

cost : 根据参数计算损失

gradient : 计算每个参数的梯度方向

descent : 进行参数更新

accuracy: 计算精度

先写sigmoid函数：

$Sigmoid函数的定义域与值域：g:R→[0,1]；g(0)=0.5；g(-\infty)=0；g(+\infty)=1$

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

nums = np.arange(-10, 10, step=1) #creates a vector containing 20 equally spaced values from -10 to 10
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
ax.plot(nums, sigmoid(nums), 'r')

在这里插入图片描述

下面写预测函数，即model函数：

def model(X, theta):
    """ Returns our model result
    :param X: examples to classify, n x p
    :param theta: parameters, 1 x p
    :return: the sigmoid evaluated for each examples in X given parameters theta as a n x 1 vector
    """
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))

在这里插入图片描述

# 注意，这个只能运行一次，第二次就会报错，因为已经存在了，就报错
pdData.insert(0, 'Ones', 1) # in a try / except structure so as not to return an error if the block si executed several times 注意，这个只能运行一次，第二次就会报错，因为已经存在了，就报错

pdData

# set X (training data) and y (target variable)
# orig_data = pdData.as_matrix() # convert the Pandas representation of the data to an array useful for further computations，新版本中没有 as_matrix 
orig_data = pdData.values   # 新版本中用这个代替上面的 as_matrix
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:,0:cols-1]
y = orig_data[:,cols-1:cols]



# convert to numpy arrays and initalize the parameter array theta
#X = np.matrix(X.values)
#y = np.matrix(data.iloc[:,3:4].values) #np.array(y.vales)
theta = np.zeros([1, 3])

首先我们要添加都是1的一列，构造出 $1,x_1,x_2]^T$

然后再构造一个[θ₁,θ₂,θ₃]，但是我们现在不关心[θ₁,θ₂,θ₃]里面的值，所以用0占位。

X[:5]

X的前5行：
array([[ 1. , 34.62365962, 78.02469282],
[ 1. , 30.28671077, 43.89499752],
[ 1. , 35.84740877, 72.90219803],
[ 1. , 60.18259939, 86.3085521 ],
[ 1. , 79.03273605, 75.34437644]])

y[:5]

y的前5列：
array([[0.],
[0.],
[0.],
[1.],
[1.]])

theta

array([[0., 0., 0.]])

X.shape, y.shape, theta.shape

((100, 3), (100, 1), (1, 3))

下面写损失函数，即cost函数：
在这里插入图片描述

def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / (len(X))

cost(X, y, theta)

0.6931471805599453
先试一下能不能运行出来，这里损失值有些大，不过没有关系。

下面写梯度计算公式，即gradient函数：
在这里插入图片描述

def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape)
    error = (model(X, theta)- y).ravel()
    for j in range(len(theta.ravel())): #for each parmeter
        term = np.multiply(error, X[:,j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)
    
    return grad

这一步对梯度的求解是最难的部分，这个for循环需要好好体会。

Gradient descent

我们要比较3种不同梯度下降方法：批量/整体（整体梯度下降也叫直接梯度下降）、随机（SGD）、小批量（Mini-batch）在不同学习率，不同迭代次数下的结果。

首先，在这三种梯度下降方法下，我们还要指定一个停止策略，即迭代几次后停止。

我们有3种停止策略：

第一种停止策略：根据迭代次数进行停止。更新一次参数就是一次迭代，达到我们设定的指定迭代次数，我们就停止。

第二种停止策略：根据损失进行停止。迭代前和迭代后的损失目标函数如果没有太大变化，我们就停止。

第三种停止策略：根据梯度进行停止。迭代前和迭代后的梯度如果没有太大变化，我们就停止。

下面写停止策略函数，即stopCriterion函数：

STOP_ITER = 0
STOP_COST = 1
STOP_GRAD = 2

def stopCriterion(type, value, threshold):
    #设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:      return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:      return np.linalg.norm(value) < threshold

为了使我们的模型泛化能力更强，所以我们首先要打乱数据：

import numpy.random
#洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols-1]
    y = data[:, cols-1:]
    return X, y

不同梯度下降策略消耗的时间对结果的影响：

参数解释：

batchsize=1：随机梯度下降
batchsize=总样本数：直接梯度下降
1 < batchsize < 总样本数：mini-batch
stoptype：停止策略
thresh：策略对应的阈值
alpha：学习率

import time

def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #梯度下降求解
    #初始化
    init_time = time.time()
    i = 0 # 迭代次数
    k = 0 # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape) # 计算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值

    #计算cost损失值
    while True:
        grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)
        k += batchSize #取batch数量个数据
        if k >= n: 
            k = 0 
            X, y = shuffleData(data) #重新洗牌
        theta = theta - alpha*grad # 参数更新
        costs.append(cost(X, y, theta)) # 计算新的损失
        i += 1 
		#选择不同的停止策略
        if stopType == STOP_ITER:       value = i
        elif stopType == STOP_COST:     value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:     value = grad
        #到了停止条件我们就跳出循环
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
    
    return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time

def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #import pdb; pdb.set_trace();
    #这一步是核心求解
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    #下面是展示用的辅助函数
    #根据不同的梯度下降和停止策略选择策略的名字
    name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize==n: strDescType = "Gradient"
    elif batchSize==1:  strDescType = "Stochastic"
    else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    #显示在图上
    print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
        name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

不同的停止策略：

1、设定迭代次数

#选择的梯度下降方法是基于所有样本的
n=100
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)

在这里插入图片描述
2、根据损失值停止
$设定阈值 1^{-6}, 差不多需要110 000次迭代。$

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
3、根据梯度变化停止

设定阈值 0.05,差不多需要40 000次迭代。

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
对比不同的梯度下降方法

Stochastic descent

只迭代一个样本：

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
有点爆炸…很不稳定（结果是不会收敛的），再来试试把学习率调小一些。

下面我们把迭代次数增多，学习率调小：

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

在这里插入图片描述
速度快，但稳定性差（收敛结果还是不尽人意），需要很小的学习率。

Mini-batch descent

一次迭代拿16个样本：

runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
浮动仍然比较大，我们来尝试下对数据进行标准化，将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差。
最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1。

from sklearn import preprocessing as pp

scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
原始数据，只能达到0.61，而我们这里得到了0.38，结果明显改善。
所以我们遇到浮动比较大的情形时，先对数据下手，对数据做预处理是非常重要的。
先改数据，不行再改模型，是我们的基本套路。

进一步改进：

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
更多的迭代次数会使得损失下降的更多。

theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
随机梯度下降更快，但是我们需要迭代的次数也需要更多，所以还是用mini-batch比较合适。

使用预处理后的数据scaled_data，样本取16，在迭代次数比较少，学习率较小的情况下结果还是不错的：

runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
精度
把之前结果中的概率值转换成类别值（0或1）：

#设定阈值
def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]

预测对了几个？

scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy))