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[数据结构与算法]梯度下降求解逻辑回归

梯度下降求解逻辑回归

来自唐宇迪——机器学习视频课的笔记。
Logistic Regression 逻辑回归

首先先看一下理论部分:
在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
梯度下降:
引入:当我们得到了一个目标函数后,如何进行求解?
直接求解?(并不一定可解,线性回归可以当作是一个特例)

常规套路:机器学习的套路就是交给机器一堆数据,然后告诉它什么样的学习方式是对的(目标函数),然后让它朝着这个方向去做。

如何优化:一步步地完成迭代。(每次优化一点点,积累起来就相当精确了,一般是10000次或者100000次。)
m为样本数。
在这里插入图片描述
小批量梯度下降法中的系数 α 1 10 \alpha {1\over10} α101?就是批处理数量为10。
我们现在最常用的就是小批量梯度下降法。
在这里插入图片描述
学习率一般取0.01,不行就再小。
批处理数量根据内存,能多大就多大,越大结果越精确,目前一般是64。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
下面开始正篇,代码部分:

数据为.txt文件:LogiReg_data.txt,大家可以从我的百度网盘直接下载:
链接:https://pan.baidu.com/s/1D5jS_DTGmU1t3ZrHR8tlvw
提取码:2222

首先是数据和模型描述:

我们将建立一个逻辑回归模型来预测一个学生是否被大学录取。假设你是一个大学系的管理员,你想根据两次考试的结果来决定每个申请人的录取机会。你有以前的申请人的历史数据,你可以用它作为逻辑回归的训练集。对于每一个培训例子,你有两个考试的申请人的分数和录取决定。为了做到这一点,我们将建立一个分类模型,根据考试成绩估计入学概率。

先对数据进行初步分析:

#三大件
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
import os
os.chdir(r'C:\Users\Administrator\Desktop\python数据分析与机器学习实战\自己的学习资料\数据文件') 
# path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'也可以用path方法读入
pdData = pd.read_csv('LogiReg_data.txt', header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
pdData.head()

这边数据的第一行直接就是是样本,所以我们要先指定header为none值,然后再重命名列名,exam1是第一次考试成绩,exam2是第二次考试成绩,admitted是是否被录取。

pdData.shape

看一下数据的维度。
(100, 3)

positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] # returns the subset of rows such Admitted = 1, i.e. the set of *positive* examples
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0] # returns the subset of rows such Admitted = 0, i.e. the set of *negative* examples

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')

指定正例为录取的,即admitted为1的样本,负例为未录取的,即admitted为0的样本。
在这里插入图片描述
接下来我们来实现算法:

The logistic regression

目标:建立分类器(求解出三个参数 𝜃0 𝜃1 𝜃2

设定阈值,根据阈值判断录取结果。

如果设为0.5,则大于0.5被录取,小于0.5未被录取。

要完成的模块

sigmoid : 映射到概率的函数

model : 返回预测结果值

cost : 根据参数计算损失

gradient : 计算每个参数的梯度方向

descent : 进行参数更新

accuracy: 计算精度

先写sigmoid函数:

S i g m o i d 函 数 的 定 义 域 与 值 域 : g : R → [ 0 , 1 ] ; g ( 0 ) = 0.5 ; g ( ? ∞ ) = 0 ; g ( + ∞ ) = 1 Sigmoid函数的定义域与值域:g:R→[0,1];g(0)=0.5;g(-\infty)=0;g(+\infty)=1 Sigmoidg:R[0,1]g(0)=0.5g(?)=0g(+)=1

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))
nums = np.arange(-10, 10, step=1) #creates a vector containing 20 equally spaced values from -10 to 10
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
ax.plot(nums, sigmoid(nums), 'r')

在这里插入图片描述

下面写预测函数,即model函数:

def model(X, theta):
    """ Returns our model result
    :param X: examples to classify, n x p
    :param theta: parameters, 1 x p
    :return: the sigmoid evaluated for each examples in X given parameters theta as a n x 1 vector
    """
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))

在这里插入图片描述

# 注意,这个只能运行一次,第二次就会报错,因为已经存在了,就报错
pdData.insert(0, 'Ones', 1) # in a try / except structure so as not to return an error if the block si executed several times 注意,这个只能运行一次,第二次就会报错,因为已经存在了,就报错

pdData

# set X (training data) and y (target variable)
# orig_data = pdData.as_matrix() # convert the Pandas representation of the data to an array useful for further computations,新版本中没有 as_matrix 
orig_data = pdData.values   # 新版本中用这个代替上面的 as_matrix
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:,0:cols-1]
y = orig_data[:,cols-1:cols]



# convert to numpy arrays and initalize the parameter array theta
#X = np.matrix(X.values)
#y = np.matrix(data.iloc[:,3:4].values) #np.array(y.vales)
theta = np.zeros([1, 3])

首先我们要添加都是1的一列,构造出 [ 1 , x 1 , x 2 ] T [1,x_1,x_2]^T [1,x1?,x2?]T

然后再构造一个[θ123],但是我们现在不关心[θ123]里面的值,所以用0占位。

X[:5]

X的前5行:
array([[ 1. , 34.62365962, 78.02469282],
[ 1. , 30.28671077, 43.89499752],
[ 1. , 35.84740877, 72.90219803],
[ 1. , 60.18259939, 86.3085521 ],
[ 1. , 79.03273605, 75.34437644]])

y[:5]

y的前5列:
array([[0.],
[0.],
[0.],
[1.],
[1.]])

theta

array([[0., 0., 0.]])

X.shape, y.shape, theta.shape

((100, 3), (100, 1), (1, 3))

下面写损失函数,即cost函数:
在这里插入图片描述

def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / (len(X))
cost(X, y, theta)

0.6931471805599453
先试一下能不能运行出来,这里损失值有些大,不过没有关系。

下面写梯度计算公式,即gradient函数:
在这里插入图片描述

def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape)
    error = (model(X, theta)- y).ravel()
    for j in range(len(theta.ravel())): #for each parmeter
        term = np.multiply(error, X[:,j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)
    
    return grad

这一步对梯度的求解是最难的部分,这个for循环需要好好体会。

Gradient descent

我们要比较3种不同梯度下降方法:批量/整体(整体梯度下降也叫直接梯度下降)、随机(SGD)、小批量(Mini-batch)在不同学习率,不同迭代次数下的结果。

首先,在这三种梯度下降方法下,我们还要指定一个停止策略,即迭代几次后停止。

我们有3种停止策略:

第一种停止策略:根据迭代次数进行停止。更新一次参数就是一次迭代,达到我们设定的指定迭代次数,我们就停止。

第二种停止策略:根据损失进行停止。迭代前和迭代后的损失目标函数如果没有太大变化,我们就停止。

第三种停止策略:根据梯度进行停止。迭代前和迭代后的梯度如果没有太大变化,我们就停止。

下面写停止策略函数,即stopCriterion函数:

STOP_ITER = 0
STOP_COST = 1
STOP_GRAD = 2

def stopCriterion(type, value, threshold):
    #设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:      return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:      return np.linalg.norm(value) < threshold

为了使我们的模型泛化能力更强,所以我们首先要打乱数据:

import numpy.random
#洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols-1]
    y = data[:, cols-1:]
    return X, y

不同梯度下降策略消耗的时间对结果的影响:

参数解释:

batchsize=1:随机梯度下降
batchsize=总样本数:直接梯度下降
1 < batchsize < 总样本数:mini-batch
stoptype:停止策略
thresh:策略对应的阈值
alpha:学习率

import time

def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #梯度下降求解
    #初始化
    init_time = time.time()
    i = 0 # 迭代次数
    k = 0 # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape) # 计算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值

    #计算cost损失值
    while True:
        grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)
        k += batchSize #取batch数量个数据
        if k >= n: 
            k = 0 
            X, y = shuffleData(data) #重新洗牌
        theta = theta - alpha*grad # 参数更新
        costs.append(cost(X, y, theta)) # 计算新的损失
        i += 1 
		#选择不同的停止策略
        if stopType == STOP_ITER:       value = i
        elif stopType == STOP_COST:     value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:     value = grad
        #到了停止条件我们就跳出循环
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
    
    return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time
def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #import pdb; pdb.set_trace();
    #这一步是核心求解
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    #下面是展示用的辅助函数
    #根据不同的梯度下降和停止策略选择策略的名字
    name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize==n: strDescType = "Gradient"
    elif batchSize==1:  strDescType = "Stochastic"
    else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    #显示在图上
    print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
        name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

不同的停止策略:

1、设定迭代次数

#选择的梯度下降方法是基于所有样本的
n=100
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)

在这里插入图片描述
2、根据损失值停止
设 定 阈 值 1 ? 6 , 差 不 多 需 要 110000 次 迭 代 。 设定阈值 1^{-6}, 差不多需要110 000次迭代。 1?6,110000

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
3、根据梯度变化停止

设定阈值 0.05,差不多需要40 000次迭代。

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
对比不同的梯度下降方法

Stochastic descent

只迭代一个样本:

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
有点爆炸…很不稳定(结果是不会收敛的),再来试试把学习率调小一些。

下面我们把迭代次数增多,学习率调小:

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

在这里插入图片描述
速度快,但稳定性差(收敛结果还是不尽人意),需要很小的学习率。

Mini-batch descent

一次迭代拿16个样本:

runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
浮动仍然比较大,我们来尝试下对数据进行标准化,将数据按其属性(按列进行)减去其均值,然后除以其方差。
最后得到的结果是,对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近,方差值为1。

from sklearn import preprocessing as pp

scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
原始数据,只能达到0.61,而我们这里得到了0.38,结果明显改善。
所以我们遇到浮动比较大的情形时,先对数据下手,对数据做预处理是非常重要的。
先改数据,不行再改模型,是我们的基本套路。

进一步改进:

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
更多的迭代次数会使得损失下降的更多。

theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
随机梯度下降更快,但是我们需要迭代的次数也需要更多,所以还是用mini-batch比较合适。

使用预处理后的数据scaled_data,样本取16,在迭代次数比较少,学习率较小的情况下结果还是不错的:

runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

在这里插入图片描述
精度
把之前结果中的概率值转换成类别值(0或1):

#设定阈值
def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]

预测对了几个?

scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

accuracy = 89%

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