[数据结构与算法]哈夫曼编码+哈夫曼树

百度百科简介：

1.哈夫曼编码(Huffman Coding)，又称霍夫曼编码，是一种编码方式，哈夫曼编码是可变字长编码(VLC)的一种。Huffman于1952年提出一种编码方法，该方法完全依据字符出现概率来构造异字头的平均长度最短的码字，有时称之为最佳编码，一般就叫做Huffman编码（有时也称为霍夫曼编码）。
2.哈夫曼树给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。
通过这个简介我们可以发现，我们可以通过哈夫曼树来实现哈夫曼编码

主要解决问题类型

构造一棵包含$n$个叶子结点的$k$叉树，每个叶子都有一个点权$w[i]$，和根节点到叶子节点的距离$l[i]$，目的就是要最小化$\sum w_i?l_i$

二叉哈夫曼树

当$k=2$的时候，我们很容易可以想到一个贪心策略，就是$w[i]$大的数让它的$l[i]$要小这样才会使得总答案变小
主要步骤就是：
1.建立一个小根堆，插入这n个点
2.每次取出两个点，并且进行合并
3.再把合并后的点插入到小根堆当中
重复123的操作直到小根堆的大小为1，也就是只合并到了一个点

K叉哈夫曼树

对于k叉哈夫曼树的求解,直观的想法是在贪心的基础上,改为每次从堆中去除最小的k个权值合并。然而，仔细思考可以发现，如果在执行最后一次循环时，堆的大小在（2~k-1）之间（不足以取出k个），那么整个哈夫曼树的根的子节点个数就小于k。这显然不是最优解因为我们任意取哈夫曼树中一个深度最大的节点，改为树根的子节点，就会使$\sum w_i?l_i$
变小，但是二叉的时候为啥就不会出现这样的问题呢？？？

当要更新下一层的时候下一层所加的个数是k-1,所以总数就是要当（n-1）%(k-1)!=0时，我们要补K-（n-1）%（k-1）个点，其中（n-1）%（k-1）为多了的点（如果这里不理解可以模拟一下）。然后建树就行了。

模板题，荷马史诗

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1001000
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
	int res=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){res=(res<<1)+(res<<3)+(ch&15);ch=getchar();}
	return res*f;
}
struct node{
	int val;
	int id;
	inline bool operator <(const node &a) const{//重载<运算符调好久就是这里的问题
	   if(a.val==val)return a.id<id;
	   return a.val<val;
	}
};
priority_queue<node>q;
int n,k;
int ans;
int tot;
int a[maxn];
int zero;
signed main()
{
	n=read();k=read();
	if((n-1)%(k-1))zero=k-1-((n-1)%(k-1));

	while(zero--)q.push((node){0,1});
	for(int i=1;i<=n;i++)q.push((node){read(),1}); 补充0+数字
	while(q.size()!=1)
	{
		tot=0;
		int maxh=0;
		for(int i=1;i<=k;i++)
		{
			maxh=max(maxh,q.top().id);
			tot+=q.top().val;
			q.pop();
		}
		ans+=tot;
//		cout<<tot<<' '<<maxh<<endl;
		q.push((node){tot,maxh+1});
	}
	cout<<ans<<endl<<q.top().id-1;
	return 0;
}