[数据结构与算法]数据结构详解

线性表

线性表的顺序表示

静态分配

#define MaxSize 10 // 定义最大长度 

typedef struct {
	int data[MaxSize]; // ElemType = int, * 用静态的“数组”存访数据元素 
	int length; // 顺序表的当前长度 
} SqList;

动态分配

#define InitSize 10 // 顺序表的初始长度
typedef struct {
	int * data; // ElemType = int, * 声明动态分配数组的指针 
	int MaxSize; // 顺序表的最大容量
	int length; // 顺序表的当前长度 
} SqList;

// 初始化顺序表 
void InitList(SqList &L) {
	// 用 malloc 函数申请一片连续的存储空间 
	L.data = (int *)malloc(InitSize * sizeof(int));
	L.length = 0;
	L.MaxSize = InitSize;
}

特点：

• 可随机访问，查找元素所需时间复杂度为 O(1) 。
• 存储密度高，每个节点只存储数据元素。
• 拓展容量不方便（即使使用动态分配的方式实现，拓展长度的时间复杂度也比较高，因为需要把数据复制到新的区域）。
• 插入删除操作不方便，需移动大量元素：O(n) 。

线性表的链式表示

单链表

struct LNode{            //定义单链表节点类型  LNode:结点
    ElemType data;       //每个结点存放一个数据元素 data:数据域
    struct LNode *next;  //指针指向下一个结点 next:指针域
};

双链表

typedef struct DNode{            //定义双链表结点类型
    ElemType data;               //数据域
    struct DNode *prior, *next;  //前驱和后继指针
}DNode, *DLinklist;

循环单链表

最后一个结点的指针不是NULL,而是指向头结点

循环双链表

表头结点的prior指向表尾结点，表尾结点的next指向头结点

静态链表

#define MaxSize 10        //静态链表的最大长度

typedef struct{           //静态链表结构类型的定义
    ELemType data;        //存储数据元素
    int next;             //下一个元素的数组下标
}SLinkList[MaxSize];

void testSLinkList(){
    SLinkList a;
}

栈 (stack)

栈是特殊的线性表：只允许在一端进行插入或删除操作， 其逻辑结构与普通线性表相同
栈顶：允许进行插入和删除的一端 （最上面的为栈顶元素）
栈底：不允许进行插入和删除的一端 （最下面的为栈底元素）
空栈：不含任何元素的空表
特点：后进先出（后进栈的元素先出栈）
缺点：栈的大小不可变，解决方法——共享栈

栈的顺序存储

#define MaxSize 10         //定义栈中元素的最大个数

typedef struct{
    ElemType data[MaxSize];       //静态数组存放栈中元素
    int top;                      //栈顶元素
}SqStack;

void testStack(){
    SqStack S;       //声明一个顺序栈(分配空间)
                     //连续的存储空间大小为 MaxSize*sizeof(ElemType)
}

栈的链式存储结构

因此，链栈实际上就是一个只能采用头插法插入或删除数据的链表

typedef struct Linknode{
    ElemType data;              //数据域
    struct Linknode *next;      //指针域
}*LiStack;                      //栈类型的定义

应用

• 栈在括号匹配中的应用
• 中缀表达式 (需要界限符)
• 后缀表达式 (逆波兰表达式)
• 栈在递归中的应用

队列(Queue)

• 队列是操作受限的线性表，只允许在一端进行插入 (入队)，另一端进行删除 (出队)
• 操作特性：先进先出 FIFO
• 队头：允许删除的一端
• 队尾：允许插入的一端
• 空队列：不含任何元素的空表

# define MaxSize 10;     //定义队列中元素的最大个数
typedef struct{
    ElemType data[MaxSize];   //用静态数组存放队列元素
                              //连续的存储空间，大小为——MaxSize*sizeof(ElemType)
    int front, rear;          //队头指针和队尾指针
}SqQueue;

• 队头指针：指向队头元素；
• 队尾指针：指向队尾元素的后一个位置（下一个应该插入的位置）

循环队列（判满）

方案一: 牺牲一个单元来区分队空和队满

队尾指针的再下一个位置就是队头，即 (Q.rear+1)%MaxSize == Q.front

• 循环队列——入队：只能从队尾插入（判满使用方案一）

bool EnQueue(SqQueue &Q, ElemType x){
    if((Q.rear+1)%MaxSize == Q.front)        //队满
        return false;
    Q.data[Q.rear] = x;                      //将x插入队尾
    Q.rear = (Q.rear + 1) % MaxSize;         //队尾指针加1取模

    return true;
}

• 循环队列——出队：只能让队头元素出队

//出队，删除一个队头元素，用x返回
bool DeQueue(SqQueue &Q, ElemType &x){
    if(Q.rear == Q.front)              //队空报错
        return false;  

    x = Q.data[Q.front];
    Q.front = (Q.front + 1) % MaxSize; //队头指针后移动

    return true;
}

• 循环队列——获得队头元素

bool GetHead(SqQueue &Q, ElemType &x){
    if(Q.rear == Q.front)              //队空报错
        return false;  

    x = Q.data[Q.front];
    return true;
}

方案二: 不牺牲存储空间，设置size

定义一个变量 size用于记录队列此时记录了几个数据元素，初始化 size = 0，进队成功 size++，出队成功size--，根据size的值判断队满与队空

队满条件：size == MaxSize

队空条件：size == 0

方案三: 不牺牲存储空间，设置tag

定义一个变量 tag，tag = 0 --最近进行的是删除操作；tag = 1 --最近进行的是插入操作；

每次删除操作成功时，都令tag = 0；只有删除操作，才可能导致队空；
每次插入操作成功时，都令tag = 1；只有插入操作，才可能导致队满；

队满条件：Q.front == Q.rear && tag == 1

队空条件：Q.front == Q.rear && tag == 0

队列的链式存储结构

typedef struct LinkNode{      //链式队列结点
    ElemType data;
    struct LinkNode *next;
}

typedef struct{               //链式队列
    LinkNode *front, *rear;   //队列的队头和队尾指针
}LinkQueue;

双端队列

• 双端队列允许从两端插入、两端删除的线性表；
• 如果只使用其中一端的插入、删除操作，则等同于栈；
• 输入受限的双端队列：允许一端插入，两端删除的线性表；
• 输出受限的双端队列：允许两端插入，一端删除的线性表；

串

顺序表

#define MAXLEN 255   //预定义最大串长为255

typedef struct{
    char ch[MAXLEN];   //静态数组实现（定长顺序存储）
                       //每个分量存储一个字符
                       //每个char字符占1B
    int length;        //串的实际长度
}SString;

堆分配

//动态数组实现
typedef struct{
    char *ch;           //按串长分配存储区，ch指向串的基地址
    int length;         //串的长度
}HString;

HString S；
S.ch = (char *) malloc(MAXLINE * sizeof(char)); //基地址指针指向连续空间的起始位置
                                                //malloc()需要手动free()
S.length;

链式存储

typedef struct StringNode{
    char ch;           //每个结点存1个字符
    struct StringNode *next;
}StringNode, * String;

树

顺序存储

#define MaxSize 100

struct TreeNode{
   ElemType value; //结点中的数据元素
   bool isEmpty;   //结点是否为空
}

链式存储

//二叉树的结点

struct ElemType{
   int value;
};

typedef struct BiTnode{
   ElemType data;          //数据域
   struct BiTNode *lchild, *rchild; //左、右孩子指针
}BiTNode, *BiTree;

计算机科学中的树

二叉查找树

中序有序

笛卡尔树

范围最值查询与最低公共祖先（ 距离两个节点最近的共同祖先 ）

AVL树

本质上还是一棵二叉搜索树，它的特点是：

1.本身首先是一棵二叉搜索树。

2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。

也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。

红黑树

是一种特化的AVL树 ， 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除

在二叉查找树强制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:

性质1. 结点是红色或黑色。

性质2. 根结点是黑色。

性质3. 所有叶子都是黑色。（叶子是NIL结点）

性质4. 每个红色结点的两个子结点都是黑色。（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点）

性质5. 从任一节结点其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点。

这些约束强制了红黑树的关键性质:

从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。

结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值的最坏情况时间都要求与树的高度成比例。

这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的，而不同于普通的二叉查找树。

B树（B-）

而B-树查询时间复杂度不固定，与 key 在树中的位置有关，最好为O(1)。

B-树，这里的 B 表示 balance( 平衡的意思)，B-树是一种多路自平衡的搜索树

B-树有如下特点:

1. 所有键值分布在整颗树中（索引值和具体data都在每个节点里）；
2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3. 搜索有可能在非叶子结点结束（最好情况O(1)就能找到数据）；
4. 在关键字全集内做一次查找,性能逼近二分查找；

B-树是专门为外部存储器设计的，如磁盘，它对于读取和写入大块数据有良好的性能，所以一般被用在文件系统及数据库中。

B+ 树

时间复杂度固定为 log n

算法

 typora插入动图技巧      <img src="图片地址" style="zoom: 100%" />      

冒泡排序

对一个列表多次重复遍历。它要比较相邻的两项，并且交换顺序

选择排序

每遍历一次列表只交换一次数据将它换到正确的位置 。

一共需要 n-1 次遍历来排好 n 个数据 。

插入排序

每一个新的数据项被 插入到前边的子表里

希尔排序

缩小间隔排序

它以插入排序为基础，将原来要排序的列表划分为一些子列表，再对每一个子列表执行插入排序 。

归并排序

把两个排序好了的列表结合在一起组合成一个单一的有序的新列表

归并排序是一种递归算法，它持续地将一个列表分成两半

如果列表是空的或者 只有一个元素，那么根据定义，它就被排序好了（最基本的情况 ）

如果列表里的元素超过一个，我们就把列表拆分，然后分别对两个部分调用递归排序。

快速排序

基数排序

堆排序

参考链接

B+树和B树的区别 - 简书 (jianshu.com)