[数据结构与算法]Educational Codeforces Round 109 (Rated for Div. 2) E. Assimilation IV(数学期望+容斥)

题意：

有$n$个城市，和$m$?个土地，每次可以选择一个没被选过的城市建立一个纪念碑，该纪念碑在放下去的时候，只能占领跟它距离为1的土地，之后每一次操作，该纪念碑占领的范围都能增加1个距离。求最后被占领的城市数量的期望。

题解：

考虑每个土地的贡献，计算出其能被占领的方案数，但是这样太难计算，所有可以考虑容斥。

总的方案数为$n!$?? ,将这n个城市跟这个土地的距离排个序，记为$d1,d2,d3,d4......$? ,对于距离最小的城市，它只能在最后$d1?1$?的位置被选，对于第2小的城市，有$d2?1?1$的位置可以选，那么方案数就是$(d1?1)(d2?2)(d3?3)......$

最后总方案数减去未被选的方案数，就是被选的方案数，那么期望就是被选的方案数除以总方案数。

代码：

#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<ctime>
#define iss ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int mod=998244353;
const int MAXN=5e4+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int a[25][MAXN];
ll quick_pow(ll x,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans*x)%mod;
        b>>=1;
        x=(x*x)%mod;
    }
    return ans;
}
//逆元函数 公式为 (a/b)%mod=(a*b^(mod-2))%mod
ll inv(ll x,ll b)
{
    return (x*quick_pow(b,mod-2))%mod;
}
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    ll sum=1;
    ll ans=0;
    for(int i=2;i<=n;i++) sum=sum*i%mod;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ll num=1;
        int cnt=0;
        std::vector<int> v;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            v.push_back(a[j][i]);
        }
        sort(v.begin(),v.end());
        for(auto j:v)
        {
            num=num*max(0,j-1-cnt)%mod;
            cnt++;
        }
        ans=(ans+inv((sum-num+mod)%mod,sum))%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
}