将向量下标为偶数的分量 (x2, x4, …) 累加, 写出相应表达式.
答：Java代码如下：
double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
if(x % 2 == 0)
sum += x[i];
各出一道累加、累乘、积分表达式的习题, 并给出标准答案.
答：
累加:
∑
n
=
1
5
n
=
15
\sum\limits_{n=1}^5n=15
n=1∑5?n=15
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= 5; i ++)
sum += i;
累乘：
∏
i
=
1
5
i
=
120
\prod\limits_{i = 1}^{5} i=120
i=1∏5?i=120
int product = 1;
for (int i = 1; i <= 5; i ++)
product *= i;
定积分 ：
∫
0
1
(
x
2
+
1
)
d
x
=
4
/
3
\int_{0}^{1} (x^2 + 1 )\mathrm{d}x=4/3
∫01?(x2+1)dx=4/3
你使用过三重累加吗? 描述一下其应用.
答：使用过。在Matlab编写函数式子的时候，用了三个for循环实现累加，但是耗时较长，就没有经常使用。
给一个常用的定积分, 将手算结果与程序结果对比.
答：如定积分：
∫
0
1
(
x
2
+
1
)
d
x
=
4
/
3
\int_{0}^{1} (x^2 + 1 )\mathrm{d}x=4/3
∫01?(x2+1)dx=4/3
程序结果：
from scipy import integrate
def func(x):
print("x=", x)
return x**2 + 1
Area, err = integrate.quad(func, 0, 1)
print("Integral area:", Area)
x= 0.8904088632932085
x= 0.21862143266569767
x= 0.7813785673343023
x= 0.35280356864926987
x= 0.6471964313507301
Integral area: 1.3333333333333333
如何获得
w
\mathcal{w}
w?
答：最小二乘法的代数法求解就是对
θ
i
\theta_i
θi?求偏导数。令偏导数为 0，再解方程组，得到
θ
i
\theta_i
θi? 。
设函数
h
θ
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
θ
0
+
θ
1
x
1
+
?
+
θ
n
x
n
h_{\theta}(x_1,x_2,\dots,x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+\dots+\theta_nx_n
hθ?(x1?,x2?,…,xn?)=θ0?+θ1?x1?+?+θn?xn?的矩阵表达式为：
h
θ
(
x
)
=
X
θ
h_\theta(x)=\mathbf{X}\theta
hθ?(x)=Xθ。其中
X
\mathbf{X}
X为
m
×
n
m\times n
m×n的矩阵，
m
m
m代表向量个数，
n
n
n代表特征数。
loss函数定义为
J
(
θ
)
=
1
/
2
(
X
θ
?
Y
)
T
(
X
θ
?
Y
)
,
J(\theta)=1/2(\mathbf{X}\theta-\mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta-Y}),
J(θ)=1/2(Xθ?Y)T(Xθ?Y),其中
Y
\mathbf{Y}
Y是样本的输出向量，维度为
m
×
1
m\times 1
m×1.
最后根据最下二乘法原理，用loss函数对
θ
\theta
θ向量求导 ，令其导数为0.得：
θ
=
(
X
T
X
)
?
1
X
T
Y
=
w
\theta =(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X^T\mathbf{Y}}=w
θ=(XTX)?1XTY=w
自己写一个小例子 (n = 3 , m = 1) 来验证最小二乘法.
答：
x
i
=
[
2
,
2
,
4
]
,
y
i
=
[
4
,
5
,
6
]
T
.
x_i=[2,2,4] ,y_i=[4,5,6]^T.
xi?=[2,2,4],yi?=[4,5,6]T.
X
=
[
1
2
1
2
1
4
]
,
Y
=
[
4
5
6
]
\mathbf{X}=\left[\begin{matrix} 1&2\\1&2\\1&4 \end{matrix}\right],\mathbf{Y}=\left[\begin{matrix} 4&5&6 \end{matrix}\right]
X=???111?224????,Y=[4?5?6?]
w
=
(
X
T
X
)
?
1
X
T
Y
\mathbf{w}=(\mathbf{X}^\mathbf{T}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\mathbf{T}\mathbf{Y}
w=(XTX)?1XTY
=
[
3
?
1
?
1
3
/
8
]
[
1
1
1
2
2
4
]
[
4
5
6
]
=\left[\begin{matrix} 3&-1\\-1&3/8 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1&1&1\\2&2&4 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 4\\5\\6 \end{matrix}\right]
=[3?1??13/8?][12?12?14?]???456????
=
[
3
?
1
/
4
]
=\left[\begin{matrix} 3\\-1/4\\\end{matrix}\right]
=[3?1/4?]
y
i
=
3
x
i
?
1
/
4
y_i = 3x_i-1/4
yi?=3xi??1/4
自己推导一遍, 并描述这个方法的特点 (不少于 5 条).
答：逻辑斯蒂回归不是线性回归，逻辑斯蒂回归处理分类问题。
该方法的优点：
1.使用 sigmoid 函数将距离转成 (我们以为的) 概率
2.优化目标使用的累乘，使得概率越大越好
3.相乘计算困难, 使用
l
o
g
\mathcal{log}
log处理, 不改变单调性，利用
l
o
g
\mathcal{log}
log的计算优势求解
4.对
w
\mathcal{w}
w进行求偏导
5.令该偏导为 0, 无法获得解析式, 采用梯度下降求最值
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