[数据结构与算法]0/1背包问题_主流解法学习（一）暴力枚举与贪心算法

简单0/1背包问题概述：

（大致是这么个意思，杜撰自老师ppt，hhhh）
假定你因缘分进入一个藏宝地宫，里面奇珍异宝n件(n当然大得你数不过来)。你当然想尽可能多地带走珍宝，无奈你只有一个背包，且该背包只可承重c千克。超出此重量背包就会裂开（也就是说无法带走超出重量的物品）。地宫里的每件珍宝都有重量wi和价值vi。请问，如何挑选珍宝才能使你背出的珍宝价值最大?当然是在背包不裂开的情况下。

一个具体实例：

假定珍宝一共有5件，其重量(用符号W表示）与价值（用符号V表示），i为各个物品得下标，如下表所示：

你的背包的总承重为50kg；问：怎么装东西才能得到最大价值；
（该实例是一个简单例子，我们可以一眼看出，最优解为物品2与物品3装入背包，获得价值为220$，这也是该问题的最优解，记下该解）

暴力枚举算法：

针对上述简单实例，我们之所以可以一眼看出问题的答案，是因为我们针对小规模问题，采取了暴力枚举算法，简而言之，由于问题规模不大，所以我们可以在可观时间内获得0/1背包的最优解。
此时，我们把所有可能的序列都列一遍，由于0/1背包主要讨论的问题是放与不放的问题，即该物品非0即1，因此从理论上来讲，这是一个排列组合问题，时间复杂度大概如下公式所示：

暴力枚举的代码：

#include <iostream> 
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string.h>
#define num_proj 5
using namespace std;


//按照需要输入宝物数量
int value[num_proj]={60,100,120,30,40};
int weight[num_proj]={10,20,30,10,20};
int bagage = 50;
//宝物的定义
int solution[num_proj];//中间方案
int final_solu[num_proj];//最终解决方案
int max_value=0;//最大价值

void get_bin_num(int num){
    memset(solution,0,num_proj);
    int i = 5;
    int bin = num;
    while(bin > 0){
            i--;
            solution[i]=bin % 2;
            bin = ceil(bin /2);
        }
       
}
//简单的十进制转二进制的函数，
//利用二进制来决定哪一个装，哪一个不装
/*
例如 31:
二进制为 1 1 1 1 1 
这个就说明是所有物品1，2，3，4，5都装进去
*/

int main(){
    int loop_num = 1<<num_proj;
    //获得全部的数字，得到2^num_proj

    while(loop_num>=0){
        //遍历所有可能情况
        loop_num--;
        get_bin_num(loop_num);
        int cur_weight = 0;
        int cur_value = 0;
        for(int i =0;i<5;i++){
            if (solution[i]==1){
                cur_weight += weight[i];
                cur_value += value[i];
            }
        }
        
        if(cur_value > max_value && cur_weight <= bagage){
            /*cout<<cur_value<<" "<<cur_weight<<" "<<max_value<<endl;
            比较获得最大值，如果满足条件:
            1最大值比当前最大值大;
            2当前重量小于等于背包承重;
            则记录下解决办法，更新最大值。
            */
            for(int j = 0;j<num_proj;j++){
                  final_solu[j] = solution[j];
             }
             max_value = cur_value;
        }
    }
    cout<<"solution is : "<<endl;
    for(int j = 0;j<num_proj;j++){
        cout << final_solu[j]<<" ";
    }
}

结果示意
但是如果不是5件物品呢，万一你掉进了很牛很牛的宝藏库，宝物的件数远远超出你能数数解决的范围（大致为10e5）呢？指数的时间复杂度很可能会把你一生的时间全部耗尽，因此，我们需要一些启发式算法来帮你做出决定。

贪心算法：

针对上述问题，最直观，快速且有效的（不一定最优）解决方法必定是贪心算法。

1. 贪心算法介绍：

贪心算法，是一种贪婪的算法，顾名思义，也就是挑选眼前所有的选择中最优的一个选择，直到算法结束。
只要每一步都选择局部最优解，那么累加起来的结果必定是全局最优解的一个近似解。（注：只能是近似解，而不是绝对最优解，后面会有例子方便理解，话说这个性质也和人生一样，有时候总是选择最好的，人生反而会过的不太顺利，扯远了扯远了）

2. 0/1背包贪心算法的解决思路：

针对0/1背包问题，我们把自己代入，解决该问题可以大体有一定的思路：
（1）将眼前的宝物排序；
（2）根据排序的结果按优选择带出的物品；
该思路下，贪心算法解决0/1背包最精华的部分，也就是如何解决物品的排序问题。（排序，排序，排序重要的问题说3遍）

3. 0/1背包问题的排序方式：

想要解决排序问题，我们首先得拎清楚，排序的对象有哪些，即可以按照物品的哪些属性进行排序
（1）按照物品的本身存在的价值（假设用符号V表示）进行排序；
（2）按照物品的重量（假设用符号W表示）进行排序；
（3）按照物品的价值密度（价值/重量，即V/W）的比值进行排序；
三种排序方式中，前两种方法存在明显的短板。
对于方法一，如果价值高的物品重量也重，那么很有可能最后求得的解离最优解相去甚远，也许只能捡一个价值最高的物品，而其他物品加起来的价值要远远高于单一物品；
对于方法二，如果价值低的物品恰好重量也很轻，那么你很有可能最后捡了一堆没人要的垃圾。
而第三种排序方式相较于前两种，有明显的优势，由于背包能背的重量（假设用符号C表示）一定，所以每次都选择价值密度最大的物品，这样一来最后在理想情况下获得的收益一定是最大的，为：
最优价值密度 * 重量；
（注：最优价值密度不是指某一个具体的价值密度，而是一种理想化简化）
第三种排序思路，也是简单0/1背包中最常用得思路，是精髓所在；

贪心代码：

#include <iostream> 
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string.h>
#define num_proj 5
using namespace std;


//按照需要输入宝物数量
struct treasure{
	int no;//物品序号 
	double value;//物品价值 
	double weight;//物品重量 
	double per_value;
};

treasure project[num_proj];


double value[num_proj]={60,100,120,30,40};
double weight[num_proj]={10,20,30,10,20};
int baggage = 50;
//预设价值 

int solution[num_proj];//中间辅助数组 
int final_solu[num_proj];//结果数组 
int max_value=0;//最大价值 
void initalize(){
	for(int i = 0 ; i < num_proj ; i++ ){
		project[i].no = i+1;
		project[i].value = value[i];
		project[i].weight = weight[i];
		project[i].per_value = value[i]/weight[i];
	}
	 
	
}//初始化 

bool cmp(treasure a , treasure b){
	return a.per_value > b.per_value;
}
//用于使用sort函数，将结构体根据价值密度从大到小排序 
int main(){
	
    initalize();
    sort(project , project+num_proj , cmp);//排序 
    
    cout <<"after sorted by per value, the seq is :";
    for(int i = 0 ; i < num_proj ; i++ ){
    	cout << project[i].no <<" ";
	}
	cout <<endl;
	
	memset(solution , -1 , num_proj);
	//初始化 
	
	int cur_weight = 0 , cur_value = 0 , cnt = 0;
	for (int j = 0 ; j < num_proj ; j++ ){
		if (project[j].weight + cur_weight <= baggage){
			cur_weight += project[j].weight;
			cur_value += project[j].value;
			solution[cnt++] = project[j].no;
			//cout << project[j].no<<endl;
		}
	}
	/*根据价值密度，取得当前最佳选择； 
	如果最佳选择加上当前已有重量超重，那么放弃当前物品，转而寻找下一件； 
	否则将记录下当前物品的序号，便于输出； 
	*/
	
	
	max_value = cur_value;
	
	memset(final_solu,0,num_proj);
	for(int k = 0 ; k < num_proj ; k++){
		if (solution[k] >= 0 && solution[k] < num_proj){
			int temp = solution[k] - 1;
			final_solu[temp] = 1;
		}
	}
	/*
	中间操作，获取序列 
	*/
    cout<<"solution is : "<<endl;
    for(int j = 0;j<num_proj;j++){
        cout << final_solu[j]<<" ";
    }
    cout<<endl<<"max value is "<<max_value<<endl;
    //cout<<"hello world";//test*/
}

运行结果：

贪心存在的问题：

由于贪心算法总是从局部最优出发，因此往往如前文所述，获得的解仅仅是最优解的一个近似解，上述代码的执行结果恰好说明了这一问题，根据前文的暴力枚举获得的结果，把物品2与物品3放到一起将获得比190更高的价值，而贪心算法的解却无法将该解囊括，因此足以见得，贪心算法虽然简单有效，但也存在结果不精准的缺点，但贪心算法的思想仍然是具有巨大价值的启发式算法。

如何解决贪心缺陷，请听下回分解。

下节预告：k-优化算法，回溯法。

本博客纯属学习总结，希望能起到抛砖引玉的功效，希望各位大佬们能指出我的不足，我将虚心听取。