[数据结构与算法]C++数据结构与算法分析——前缀和与差分

前缀和

定义

假定有一数组$a[1]～a[n]$，前缀和$s[i]$就是前i项的和。
例如
$s[1]=a[1]$
$s[2]=a[1]+a[2]$
$s[n]=a[1]+a[2]+......+a[n]$

应用

由此我们可以得到，若要求得数组$a[l]～a[r]$项的元素总和，只需要前r项的元素总和s[r]
减去前l-1项的元素总和s[l - 1]即可。

模板

// 前缀和模板
s[i] = a[1] + a[2] + a[3] + ...... + a[i];
a[l] + a[l + 1] + ... + a[r] = s[r] - s[l - 1];

例题

题目描述

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数数列。

接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

$1\le l\le r\le n$,
$1\le n,m\le 100000$,
$?1000\le 数列中元素的值\le 1000$

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

题解

对于每个询问的l和r，都需要返回序列的区间$a[l]～a[r]$之和，根据模板很容易得出我们需要的代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int s[N];


int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> s[i], s[i] += s[i - 1]; //求前缀和
    while (m--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }

    return 0;
}

注意事项

前缀和的数组从$a[1]$开始是因为$s[i]=s[i?1]+a[i]$
假如从$a[0]$开始的话$s[0]=s[?1]+a[0]$显然有问题。

差分

定义

假定有一数组$a[1]～a[n]$，此时我们设一个数组$b[1]～b[n]$，使得
$a[i]=b[1]+b[2]+...+b[i]$
因此我们容易得出
$b[1]=a[1]$
$b[2]=a[2]?a[1]$
$b[n]=a[n]?a[n?1]$
由此我们也可以发现差分就是前缀和的逆运算。

应用

差分可以解决一个区间[l,r]内同时加上或者减去同一个数的问题。
具体实现如下：
要实现a[l] ~ a[r]同时加上一个数c，我们首先从差分的定义入手
a[l - 1] = b[1] + b[2] + ... + b[l - 1]
a[l] = b[1] + b[2] + ... + b[l - 1] + b[l]
a[r] = b[1] + b[2] + ... + b[l - 1] + b[l] + b[l + 1] + ... + b[r]
a[r + 1] = b[1] + b[2] + ... + b[l - 1] + b[l] + b[l + 1] + ... + b[r] + b[r + 1]
从上面式子中我们可以发现a[l - 1]以后的元素都有b[l]，而a[r + 1]以前的元素都没有b[r + 1]，
因此要在a[l] ~ a[r]同时加上c，只要让b[l] + c，b[r + 1] - c即可。

模板

给区间[l, r]中的每个数加上c：
B[l] += c, B[r + 1] -= c

例题

题目描述

输入一个长度为n的整数序列。

接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

$1\le n,m\le 100000$,
$1\le l\le r\le n$,
$?1000\le c\le 1000$,
$?1000\le 整数序列中元素的值\le 1000$

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

题解

有了上面的分析，这题只要把b[1] ~ b[n]求出来，再套用模板即可AC。

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;
int a[N],b[N];

int main(){
    int n,m,tmp;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        b[i] = a[i] - a[i - 1];
    }
    
    while(m --){
        int l,r,c;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
        b[l] += c;
        b[r + 1] -= c;
    }
    
    int k = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        k += b[i];
        printf("%d ",k);
    }
    
    return 0;
}