[数据结构与算法]5.14 平衡二叉树

一、定义

平衡二叉树，简称：平衡树（AVL树）——树上任一结点的左子树和右子树的高度之差不超过1

结点的平衡因子 = 左子树高 - 右子树高

【注】平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是-1、0、1

//平衡二叉树的结点
typedef struct AVLNode{
    int key;		//数据域
    int balance;	//平衡因子
    struct AVLNode *lchild,rchild;
}AVLNode,*AVLTree;

二、插入操作

从插入点往回找到第一个不平衡结点，调整以该结点为根的子树，记住每次调整的对象都是**“最小不平衡子树”**，将其调整平衡即可

★★三、插入新节点后如何调整“不平衡”问题【目标：恢复平衡+保持二叉排序树的特性】

1. LL（在A的左孩子的左子树中插入导致不平衡）

   将A的左孩子B向右上旋转代替A称为根结点，将A结点向右下旋转称为B的右子树的根结点，而B的原右子树则作为A结点的左子树

2. RR（在A的右孩子的右子树中插入…）

   将A的右孩子B向左上旋转代替A成为根结点，将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点，而B的原左子树则作为A结点的右子树

   【代码思路】右旋： and 左旋：

   ? f是爹，p是左孩子，gf是f的爹 f是爹，p是右孩子，gf是f的爹

   ? ①f->lchild = p->rchild; ①f->rchild = p->lchild

   ? ②p->rchild = f; ②p->lchild = f;

   ? ③gf->lchild/rchild = p; ③gf->lchild/rchild = p;

3. LR（在A的左孩子的右子树…）

   先左旋 后右旋（假设插入在A的左孩子的右子树下，令右子树的根结点为C结点，分情况讨论在C的左子树还是右子树下插入节点）

4. RL（在A的右孩子的左子树…）

   先右旋 后左旋

   【注意】

   只有左孩子才能右上旋，只有右孩子才能左上旋

   【技巧】

   孩子变成爹，爹变成孩子

四、查找效率分析

若树高为h，则最坏情况下，查找一个关键字最多需要对比h次，即查找操作的时间复杂度不可能超过O（h）

【注意区分】

平均查找长度ASL（Average Search Length）

平衡二叉树，简称：平衡树（AVL树）
$$★★★★★★★假设以n_h表示深度为h的平衡树中含有的最少结点数。$$

$$★★★★★★★则有：n_0=0;n_1=1;n_2=2,并且有n_h=n_{h?1}+n_{h?2}+1$$

$$可以证明含有n个结点的平衡二叉树的最大深度为O(lo{g}_{2}n)，平衡二叉树的平均查找长度为O(lo{g}_{2}n)$$