LeetCode1137第N个斐波那契数
使用了递归，动态规划
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题目
泰波那契序列 Tn 定义如下：
T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2
给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。
示例 1：
输入：n = 4
输出：4
解释：
T_3 = 0 + 1 + 1 = 2
T_4 = 1 + 1 + 2 = 4
示例 2：
输入：n = 25
输出：1389537
提示：
0 <= n <= 37
答案保证是一个 32 位整数，即 answer <= 2^31 - 1。
来源：力扣（LeetCode）
解题思路
Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2就是Tn=Tn-1+Tn-2+Tn-1
方法一：递归（超时）
1.思想：
刚拿到这道题，觉得很简单，不是基础嘛，就一个简单的递归，结果哈哈，超时。
2.代码实现
class Solution {
public int tribonacci(int n) {
//---------------------------方法一：递归（超时）-------------------------
if (n==0) {
return 0;
}
if (n==1||n==2) {
return 1;
}
int Tn=tribonacci(n-1)+tribonacci(n-2)+tribonacci(n-3);
return Tn;
}
}
超时。
方法二：动态规划
1.思想：
动态规划，随迟但到，一开始没有想到动规因为目前只做过一道动规题，不是很懂在什么时候用，这道题倒是让我有了更清楚的认识。
找了一篇博客了解了一下动态规划：
六大算法之三：动态规划
有些云里雾里但是大概的方向看懂了。
首先我们要找到题目的状态转移方程和边界条件，这点与递归很像，状态转移方程即：T(n)=T(n?1)+T(n?2)+T(n?3)，边界条件就是最终状态的条件： T(0)、T(1) 和 T(2)。之后使用滚动数组思想可以将空间复杂度优化成O(1)。具体建立一个长度为3的数组，只存T(n?1)，T(n?2)，T(n?3)的数值。
2.代码实现
class Solution {
public int tribonacci(int n) {
if (n==0) {
return 0;
}
if (n==1||n==2) {
return 1;
}
int[]arr=new int[3];
arr[0]=0;arr[1]=1;arr[2]=1;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
arr[i%3]=arr[0]+arr[1]+arr[2];
}
return arr[n%3];
}
}
方法三：矩阵快速幂（降低时间复杂度）
1.思想：
上述方法时间复杂度是O（n)，为了减少时间复杂度，用到了矩阵。
此时只要我们可以快速求出M的n次幂就可以快速求得最终结果，如果一个一个乘显然是不行的，时间复杂度仍是O（n)，可以定义矩阵乘法，然后用快速幂算法来加速这里 M^n的求取。
2.代码实现
class Solution {
public int tribonacci(int n) {
if (n == 0) {
return 0;
}
if (n <= 2) {
return 1;
}
int[][] q = {{1, 1, 1}, {1, 0, 0}, {0, 1, 0}};
int[][] res = pow(q, n);
return res[0][2];
}
public int[][] pow(int[][] a, int n) {
int[][] ret = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
while (n > 0) {
if ((n & 1) == 1) {
ret = multiply(ret, a);
}
n >>= 1;
a = multiply(a, a);
}
return ret;
}
public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
int[][] c = new int[3][3];
for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) {
c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j] + a[i][2] * b[2][j];
}
}
return c;
}
}
时间复杂度：O(logn)
空间复杂度：O(1)
参考大佬的解法，真的没想到可以用矩阵，数学无处不在。
方法四：打表
1.思想：
哎，字面意思，更没有想到的一种方法，直接将数据范围内的所有答案求出，然后再询问时直接查表返回。
2.代码实现
class Solution1111 {
public int tribonacci(int n) {
int[] res = {0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81,
149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890,
66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757, 4700770, 8646064, 15902591,
29249425, 53798080, 98950096, 181997601, 334745777, 615693474, 1132436852, 2082876103};
return res[n];
}
}
省时间又省空间。