J题: xay loves Floyd

原题链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11258/J

原题大意

有人将Floyd算法写错成以下形式:

for i from 1 to n
	for j from 1 to n
		for k from 1 to n
			dis[i][j] <- min(dis[i][j]，dis[i][k] + dis[k][j])

给定 $n(1\le n\le 2000)$ 个点 $m(1\le m\le 5000)$ 条边的有向图，求按错误的Floyd算法执行后，有多少 $d i s [i] [j]$ 和正确的算法结果一样。
对于 $i$ 无法到达 $j$ 的情况， $dis[i][j]=\infin$ ，在判断错误结果与正确结果是否一样时认为 $\infin =\infin$ 。

题解

观察算法易发现，最终求得的dis数组的值应不小于正解dis数组的值。
可以采用暴力+优化剪枝的做法，首先考虑正解的求得。
正解只需考虑正确性，Dijstra算法计算单源最短路的复杂度为 $O(m_{log}n)$ ，若遍历每个点计算则总复杂度为 $O(nm_{log}n)$ ，可用其替代Floyd。
错误Floyd的复杂度为 $O(n^3)$ ，且不能用其他算法代替，但是我们可以剪枝以减小复杂度，我们每次对边权取 $\min$ ，而且最终的错误数组只可能更大不可能更小，所以我们当一下情况时可以跳过 $k$ 循环的计算:

最优解为 $\infin$ ;
当前dis值已经与正解相同

而且我们可以只遍历dis值正确的边，因为若dis[i][j]的值不是最优的，则通过dis[i][j]计算得到的边也不会是最优，因此我们并不用在往后的循环中遍历该条边。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define gc() getchar()
#define For(i,n,m) for(int i=n;i<=m;i++)
#define FOR(i,n,m) for(int i=n;i>=m;i--)
#define pb push_back
using namespace std;
void read(int &x){
	int ret=0;
	char c=gc(),last=' ';
	while(!isdigit(c))last=c,c=gc();
	while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=gc();
	x=last=='-'?-ret:ret;
}
struct node{
	int u,w;
	node(int u=0,int w=0):u(u),w(w){}
	friend bool operator<(const node &a,const node &b){return a.w>b.w;}
};
const int MAXN=2e3+5,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,dis[MAXN][MAXN],vis[MAXN],d[MAXN],r[MAXN][MAXN];
vector<node>e[MAXN];
void dij(int x)//Dijstra单源最短路算法
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(d,INF,sizeof(d));
	priority_queue<node>q;
	d[x]=0;
	q.push(node(x,0));
	int u,v,w;
	while(!q.empty()){
		u=q.top().u,q.pop();
		vis[u]=1;
		if(e[u].empty())continue;
		For(i,0,e[u].size()-1){
			v=e[u][i].u,w=e[u][i].w;
			if(vis[v])continue;
			if(d[v]>d[u]+w){
				d[v]=d[u]+w;
				q.push(node(v,d[v]));
			}
		}
	}
	For(i,1,n)r[x][i]=d[i];//将单源的最短路存入正确的dis数组中
}
int main()
{
	//std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);
	read(n),read(m);
	int u,v,w;
	memset(dis,INF,sizeof(dis));
	For(i,1,n)dis[i][i]=0;
	For(i,1,m){
		read(u),read(v),read(w);
		dis[u][v]=w;
		e[u].pb(node(v,w));
	}
	For(i,1,n)dij(i);
	For(i,1,n){
		if(e[i].empty())continue;//i点无合法出边,跳过
		For(j,1,n){
			if(i==j)continue;//跳过自己到自己的情况
			if(dis[i][j]==r[i][j])continue;//若已为正解,则跳过
			if(r[i][j]==INF)continue;//正解为INF,跳过
			int k;
			For(l,0,e[i].size()-1){//只遍历i点的合法正解出边
				k=e[i][l].u;
				dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
			}
			if(dis[i][j]==r[i][j])e[i].pb(node(j,dis[i][j]));//若得到一条新的正解边,加入i点的可选边中
		}
	}
	int ans=0;
	For(i,1,n)For(j,1,n)if(dis[i][j]==r[i][j])ans++;//统计相同数
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}