最大子数组和

此题解法仅为为个人理解，如有其他思路或解法欢迎来探讨！
基础篇链接：最大子数组和（连续子数组的最大和）—— 基础篇

题目：

已知一个整数数组 arr，找到子数组的最大和（子数组最少包含一个元素）并返回这个子数组。
子数组元素顺序不发生改变且需连续。

示例：

输入: arr = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: sum = 6 ，nums = [4,-1,2,1]

分析：

首先这道题是我们老师给我们出的，要求我们使用分治算法来写。所以接下来的分析都是围绕着分治算法来进行解析：

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
比如：排序算法中的快速排序与归并排序，傅里叶变换等

这里就要来说明一下分治法适用的情况了：

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

现在

将视线回到这道题上，按照分治算法，我们要将数组从中间拆分，使其成为更小的问题。在方法maxSubArray中，我们需要的元素有——所输入的数组、指向左子组的下标left、指向右子组的下标right、指向中间分隔值的下标mid。用递归实现，当子数组中只剩一位时返回其本身if (left == right) return nums[left];。

这时，会出现三种情况，最大和出现在左子组、最大和出现在右子组、最大和出现在跨两个子组的位置。这里左子组的从left—mid、右子组是从mid+1—right、而跨左右数组的最大子数组和，则需要单独再写一个方法midSubArray来计算了。

在跨左右数组的最大子数组和的计算中，我们要分左右进行计算和的计算，让指针从中值mid开始，向两边进行移动就能保证始终是以最大和来计算的，当和sum加上指针所在的那一位时的所得值比之前的sum更小，则不将此次的和存入leftSum（rightSum）。这样将左右子组都计算完毕时，返回leftSum + rightSum就是跨左右数组的最大子数组和。
注意：这里在定义leftSum和rightSum时要将值设置为极小值而不能为0，因为输入的数组为整数，要考虑子数组中出现负数的情况。且不论是最大和产生在左子组还是右子组，都会进这一步，所以不用再专门写左子组合右子组的求和。

int leftSum = Integer.MIN_VALUE;//定一个极小值给左数组和
int rightSum = Integer.MIN_VALUE;//定一个极小值给右数组和

在midSubArray方法返回值回到maxSubArray时，求出当前左子组最大和、右子组最大和、跨左右子组最大和，返回其中的最大值就可以了。

return Math.max(leftSum,Math.max(rightSum,midSum));//返回较大的哪个和

最后，在递归的一层层返回后，就得到了我们所求的最大子数组和。

什么？
你说没写完？还有个返回这个子数组的要求没有实现。
嗯嗯，是的。这个还没有写。上面的其实是最大子数组和—— 基础篇最后分治算法的解析，而提高篇和基础篇的区别就在，提高篇要找到并输出哪个产生最大和的子数组。这在我第一次接触到这道题时可烦到我了，当时我对分治算法还不是特别熟悉，我找不到哪个子数组的下标。但如今做出来后再看起分治算法，便有了更通透的理解。这里我变分享一下我的写法：

由上面分治算法的说明我们可以知道，分治算法是将一个大问题分成若干个小问题，有点像二叉树那样子。那我们想找到哪个子数组的头尾下标，就要从小问题着手。
我们先定义两个静态变量来记录头尾位置下标（改成其他的会更好，在这道题我这样更方便看到罢了）

public static int startIndex;//记录子数组的起始下标
public static int endIndex;//记录子数组的结束下标

那我们在哪里给这两个变量赋值呢？嗯，对了，就是在midSubArray方法中的每一次将所得最大和存入leftSum（rightSum）时写入下标i，因为每一次更新最大和，i指到那个对应的数就刚好是我们所需要的那个边界上的数，在这存入就会一直保证每次更新最大和时都能更新到下标。
最后再按照下标输出就好咯。

结束！

代码：

先看上面的分析！自己理解思考一下，不要急着看代码！

分值算法：

public class DivideAndConquer {

    public static int startIndex;//记录子数组的起始下标
    public static int endIndex;//记录子数组的结束下标

    @Test
    public void test(){
        int[] arr = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};
        System.out.println("输入数组：" + Arrays.toString(arr));
        System.out.println("和最大值为：" + maxSubArray(arr,0,arr.length-1));
        printSubArray(arr,startIndex,endIndex,maxSubArray(arr,0,arr.length-1));

        int[] arr1 = {-2, -1, -5, -9, -8};
        System.out.println("输入数组：" + Arrays.toString(arr1));
        System.out.println("和最大值为：" + maxSubArray(arr1,0,arr1.length-1));
        printSubArray(arr1,startIndex,endIndex,maxSubArray(arr1,0,arr1.length-1));
    }

    public static void printSubArray(int[] nums , int startIndex , int endIndex , int sum){

        if (sum < 0){
            System.out.println("和最大子数组为：[" + sum + "]");
            return;
        }

        System.out.print("和最大子数组为：[" + nums[startIndex]);
        while (startIndex < endIndex){
            System.out.print("," + nums[startIndex + 1]);
            startIndex++;
        }
        System.out.println("]");
    }

    public static int maxSubArray(int[] nums , int left , int right){
        if (left == right) return nums[left];//左下标 == 右下标时，这时为分到最小，仅有一个元素，返回即可
        int mid = (left + right) / 2;//取中值
        int leftSum = maxSubArray(nums , left , mid);//求左数组最大子数组和
        int rightSum = maxSubArray(nums , mid +1 , right);//求右数组最大子数组和
        int midSum = midSubArray(nums , left , mid , right);//求跨左右数组的最大子数组和

        return Math.max(leftSum,Math.max(rightSum,midSum));//返回较大的哪个和
    }

    public static int midSubArray(int[] nums , int left , int mid , int right){
        int leftSum = Integer.MIN_VALUE;//定一个极小值给左数组和
        int rightSum = Integer.MIN_VALUE;//定一个极小值给右数组和
        int sum = 0;

        //左数组，从中间往左加，得到左数组最大和
        for (int i = mid ; i >= left ; i--){
            sum += nums[i];
            //存入较大的和
            if (sum > leftSum){
                leftSum = sum;
                startIndex = i;//记录下标
            }
        }

        sum = 0;//清零sum值，开始右数组

        //右数组，从中间往右加，得到右数组最大和
        for (int i = mid + 1 ; i <= right ; i++){
            sum += nums[i];
            //存入较大的和
            if (sum > rightSum){
                rightSum = sum;
                endIndex = i;//记录下标
            }
        }

        return leftSum + rightSum;//返回左右最大和数，之和
    }
}

当然，这里还有一份代码，是我在写分治之前的一种写法，对我写分治算法有蛮大帮助的，也放在这里：

public class Solution {

    @Test
    public void test(){
        int[] arr = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};
        System.out.println("输入数组：" + Arrays.toString(arr));
        System.out.println("和最大值为：" + maxSubArray(arr));

        int[] arr1 = {-2, -1, -5, -9, -8};
        System.out.println("输入数组：" + Arrays.toString(arr1));
        System.out.println("和最大值为：" + maxSubArray(arr1));
    }

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length < 1) return 0;
        else if (nums.length == 1) return nums[0];//简化

        int startIndex = 0;//记录子数组的起始下标
        int endIndex = 0;//记录子数组的结束下标
        int sum = 0;//存放和

        int temp = 0;//临时和，存放当前数组临时的和
        int tempStartIndex = -1;//临时起始下标

        for (int i = 0 ; i < nums.length ; i++){
            if (temp < 0)   //如果temp < 0；则要对temp重新赋值
            {
                temp = nums[i];    //对temp重新赋值
                tempStartIndex = i;  //暂时记录子数组（和最大）的新的起始位置（要看后续的sum 和 temp是否发生交换）
            }
            else
            {
                temp += nums[i];   //temp >= 0；算出当前的临时最大和
            }

            if (sum < temp) //如果此时 sum < temp；则表示此时的子数组和大于之前的子数组和
            {
                sum = temp; //将temp赋值给sum
                startIndex = tempStartIndex; //存入之前保存的临时起始下标，记录子数组的起始下标
                endIndex = i;   //记录子数组的结束下标
            }
        }

        if (endIndex - startIndex == 0){
            System.out.println("输入全为负数");
            return Arrays.stream(nums).max().getAsInt();//全为负数时，找到最大值
        }

        System.out.print("和最大子数组为：[");
        while (startIndex <= endIndex){
            System.out.print(nums[startIndex] + ",");
            startIndex++;
        }
        System.out.println("]");

        return sum;
    }
}