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[数据结构与算法]【李宏毅机器学习CP3-4】(task2)回归

回归分析的定义

回归应用举例

七种常见的回归

三种常用的损失函数

python中的sklearn. metrics?

在python上实现交叉验证

梯度下降法筛选最优模型

回归分析的定义

回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究方法就是回归。

回归分析是建模和分析数据的重要工具。在这里，我们使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。我会在接下来的部分详细解释这一点。

简单来说，Regression 就是找到一个函数?functionfunction?，通过输入特征?xx，输出一个数值?ScalarScalar。

回归应用举例

股市预测（Stock market forecast）
- 输入：过去10年股票的变动、新闻咨询、公司并购咨询等
- 输出：预测股市明天的平均值
自动驾驶（Self-driving Car）
- 输入：无人车上的各个sensor的数据，例如路况、测出的车距等
- 输出：方向盘的角度
商品推荐（Recommendation）
- 输入：商品A的特性，商品B的特性
- 输出：购买商品B的可能性
Pokemon精灵攻击力预测（Combat Power of a pokemon）：
- 输入：进化前的CP值、物种（Bulbasaur）、血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）
- 输出：进化后的CP值

七种常见的回归

1. Linear Regression线性回归

它是最为人熟知的建模技术之一。线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。

线性回归使用最佳的拟合直线（也就是回归线）在因变量（Y）和一个或多个自变量（X）之间建立一种关系。

用一个方程式来表示它，即Y=a+b*X + e，其中a表示截距，b表示直线的斜率，e是误差项。这个方程可以根据给定的预测变量（s）来预测目标变量的值。

一元线性回归和多元线性回归的区别在于，多元线性回归有（>1）个自变量，而一元线性回归通常只有1个自变量。现在的问题是“我们如何得到一个最佳的拟合线呢？”。

如何获得最佳拟合线（a和b的值）？

这个问题可以使用最小二乘法轻松地完成。最小二乘法也是用于拟合回归线最常用的方法。对于观测数据，它通过最小化每个数据点到线的垂直偏差平方和来计算最佳拟合线。因为在相加时，偏差先平方，所以正值和负值没有抵消。

我们可以使用R-square指标来评估模型性能。想了解这些指标的详细信息，可以阅读：模型性能指标Part 1,Part 2 .

要点：

自变量与因变量之间必须有线性关系
多元回归存在多重共线性，自相关性和异方差性。
线性回归对异常值非常敏感。它会严重影响回归线，最终影响预测值。
多重共线性会增加系数估计值的方差，使得在模型轻微变化下，估计非常敏感。结果就是系数估计值不稳定
在多个自变量的情况下，我们可以使用向前选择法，向后剔除法和逐步筛选法来选择最重要的自变量。

2.Logistic Regression逻辑回归

逻辑回归是用来计算“事件=Success”和“事件=Failure”的概率。当因变量的类型属于二元（1 / 0，真/假，是/否）变量时，我们就应该使用逻辑回归。这里，Y的值从0到1，它可以用下方程表示。

Java

odds=?p/?(1-p)?=?probability?of?event?occurrence?/?probability?of?not?event?occurrence

ln(odds)?=?ln(p/(1-p))

logit(p)?=?ln(p/(1-p))?=?b0+b1X1+b2X2+b3X3....+bkXk

上述式子中，p表述具有某个特征的概率。你应该会问这样一个问题：“我们为什么要在公式中使用对数log呢？”。

因为在这里我们使用的是的二项分布（因变量），我们需要选择一个对于这个分布最佳的连结函数。它就是Logit函数。在上述方程中，通过观测样本的极大似然估计值来选择参数，而不是最小化平方和误差（如在普通回归使用的）。

要点：

它广泛的用于分类问题。
逻辑回归不要求自变量和因变量是线性关系。它可以处理各种类型的关系，因为它对预测的相对风险指数OR使用了一个非线性的log转换。
为了避免过拟合和欠拟合，我们应该包括所有重要的变量。有一个很好的方法来确保这种情况，就是使用逐步筛选方法来估计逻辑回归。
它需要大的样本量，因为在样本数量较少的情况下，极大似然估计的效果比普通的最小二乘法差。
自变量不应该相互关联的，即不具有多重共线性。然而，在分析和建模中，我们可以选择包含分类变量相互作用的影响。
如果因变量的值是定序变量，则称它为序逻辑回归。
如果因变量是多类的话，则称它为多元逻辑回归。

3. Polynomial Regression多项式回归

对于一个回归方程，如果自变量的指数大于1，那么它就是多项式回归方程。如下方程所示：

$y = a + b*x^{\2}$

在这种回归技术中，最佳拟合线不是直线。而是一个用于拟合数据点的曲线。

重点：

虽然会有一个诱导可以拟合一个高次多项式并得到较低的错误，但这可能会导致过拟合。你需要经常画出关系图来查看拟合情况，并且专注于保证拟合合理，既没有过拟合又没有欠拟合。下面是一个图例，可以帮助理解：

明显地向两端寻找曲线点，看看这些形状和趋势是否有意义。更高次的多项式最后可能产生怪异的推断结果。

4. Stepwise Regression逐步回归

在处理多个自变量时，我们可以使用这种形式的回归。在这种技术中，自变量的选择是在一个自动的过程中完成的，其中包括非人为操作。

这一壮举是通过观察统计的值，如R-square，t-stats和AIC指标，来识别重要的变量。逐步回归通过同时添加/删除基于指定标准的协变量来拟合模型。下面列出了一些最常用的逐步回归方法：

标准逐步回归法做两件事情。即增加和删除每个步骤所需的预测。
向前选择法从模型中最显著的预测开始，然后为每一步添加变量。
向后剔除法与模型的所有预测同时开始，然后在每一步消除最小显着性的变量。

这种建模技术的目的是使用最少的预测变量数来最大化预测能力。这也是处理高维数据集的方法之一。

5. Ridge Regression岭回归

岭回归分析是一种用于存在多重共线性（自变量高度相关）数据的技术。在多重共线性情况下，尽管最小二乘法（OLS）对每个变量很公平，但它们的差异很大，使得观测值偏移并远离真实值。岭回归通过给回归估计上增加一个偏差度，来降低标准误差。

上面，我们看到了线性回归方程。还记得吗？它可以表示为：

$y = a + b*x$

这个方程也有一个误差项。完整的方程是：

Java

1	y=a+b*x+e?(error?term),?[error?term?is?the?value?needed?to?correct?for?a?prediction?error?between?the?observed?and?predicted?value]

Java

1	=>?y=a+y=?a+?b1x1+?b2x2+....+e,?for?multiple?independent?variables.

在一个线性方程中，预测误差可以分解为2个子分量。一个是偏差，一个是方差。预测错误可能会由这两个分量或者这两个中的任何一个造成。在这里，我们将讨论由方差所造成的有关误差。

岭回归通过收缩参数λ（lambda）解决多重共线性问题。看下面的公式

在这个公式中，有两个组成部分。第一个是最小二乘项，另一个是β2（β-平方）的λ倍，其中β是相关系数。为了收缩参数把它添加到最小二乘项中以得到一个非常低的方差。

要点：

除常数项以外，这种回归的假设与最小二乘回归类似；
它收缩了相关系数的值，但没有达到零，这表明它没有特征选择功能
这是一个正则化方法，并且使用的是L2正则化。

6. Lasso Regression套索回归

它类似于岭回归，Lasso （Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）也会惩罚回归系数的绝对值大小。此外，它能够减少变化程度并提高线性回归模型的精度。看看下面的公式：

Lasso 回归与Ridge回归有一点不同，它使用的惩罚函数是绝对值，而不是平方。这导致惩罚（或等于约束估计的绝对值之和）值使一些参数估计结果等于零。使用惩罚值越大，进一步估计会使得缩小值趋近于零。这将导致我们要从给定的n个变量中选择变量。

要点：

除常数项以外，这种回归的假设与最小二乘回归类似；
它收缩系数接近零（等于零），这确实有助于特征选择；
这是一个正则化方法，使用的是L1正则化；

如果预测的一组变量是高度相关的，Lasso 会选出其中一个变量并且将其它的收缩为零。

7.ElasticNet回归

ElasticNet是Lasso和Ridge回归技术的混合体。它使用L1来训练并且L2优先作为正则化矩阵。当有多个相关的特征时，ElasticNet是很有用的。Lasso 会随机挑选他们其中的一个，而ElasticNet则会选择两个。

Lasso和Ridge之间的实际的优点是，它允许ElasticNet继承循环状态下Ridge的一些稳定性。

要点：

在高度相关变量的情况下，它会产生群体效应；
选择变量的数目没有限制；
它可以承受双重收缩。

除了这7个最常用的回归技术，你也可以看看其他模型，如Bayesian、Ecological和Robust回归。

三种常用的损失函数

1、SSE(误差平方和)?The sum of squares due to error
计算公式如下：

? ? ?

同样的数据集的情况下，SSE越小，误差越小，模型效果越好
缺点：
SSE数值大小本身没有意义，随着样本增加，SSE必然增加，也就是说，不同的数据集的情况下，SSE比较没有意义

2、R-square(决定系数) Coefficient of determination

数学理解：分母理解为原始数据的离散程度，分子为预测数据和原始数据的误差，二者相除可以消除原始数据离散程度的影响
其实“决定系数”是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。
理论上取值范围（-∞，1], 正常取值范围为[0 1] ------实际操作中通常会选择拟合较好的曲线计算R2，因此很少出现-∞
一个常数模型总是预测 y 的期望值，它忽略输入的特征，因此输出的R^2会为0
越接近1，表明方程的变量对y的解释能力越强，这个模型对数据拟合的也较好

越接近0，表明模型拟合的越差

经验值：>0.4，拟合效果好

缺点：
数据集的样本越大，R2越大，因此，不同数据集的模型结果比较会有一定的误差

3、Adjusted R-Square (校正决定系数）Degree-of-freedom adjusted coefficient of determination

? ?

n为样本数量，p为特征数量

消除了样本数量和特征数量的影响

python中的sklearn. metrics?

python的sklearn.metrics中包含一些损失函数，评分指标来评估回归模型的效果。主要包含以下几个指标：n_squared_error, mean_absolute_error, explained_variance_score and r2_score.。

（1） explained_variance_score(解释方差分)
? ?y_hat ：预测值， y ：真实值, var ：方差

explained_variance_score：解释方差分，这个指标用来衡量我们模型对数据集波动的解释程度，如果取值为1时，模型就完美，越小效果就越差。下面是python的使用情况：

# 解释方差分数
>>> from sklearn.metrics import explained_variance_score
>>> y_true = [3, -0.5, 2, 7]
>>> y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
>>> explained_variance_score(y_true, y_pred) ?
0.957...
>>> y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
>>> y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
>>> explained_variance_score(y_true, y_pred, multioutput='raw_values')
...?
array([ 0.967..., ?1. ? ? ? ?])
>>> explained_variance_score(y_true, y_pred, multioutput=[0.3, 0.7])
...?
0.990...

（2） Mean absolute error（平均绝对误差）
? ?y_hat ：预测值， y ：真实值

给定数据点的平均绝对误差，一般来说取值越小，模型的拟合效果就越好。下面是在python上的实现：

>>> from sklearn.metrics import mean_absolute_error
>>> y_true = [3, -0.5, 2, 7]
>>> y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
>>> mean_absolute_error(y_true, y_pred)
0.5
>>> y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
>>> y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
>>> mean_absolute_error(y_true, y_pred)
0.75
>>> mean_absolute_error(y_true, y_pred, multioutput='raw_values')
array([ 0.5, ?1. ])
>>> mean_absolute_error(y_true, y_pred, multioutput=[0.3, 0.7])
...?
0.849...

（3）Mean squared error（均方误差）
? ?y_hat ：预测值， y ：真实值

这是人们常用的指标之一。

>>> from sklearn.metrics import mean_squared_error
>>> y_true = [3, -0.5, 2, 7]
>>> y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
>>> mean_squared_error(y_true, y_pred)
0.375
>>> y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
>>> y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
>>> mean_squared_error(y_true, y_pred) ?
0.7083...

（4） Mean squared logarithmic error
? ?y_hat ：预测值， y ：真实值

? ? ?当目标实现指数增长时，例如人口数量、一种商品在几年时间内的平均销量等，这个指标最适合使用。请注意，这个指标惩罚的是一个被低估的估计大于被高估的估计。

>>> from sklearn.metrics import mean_squared_log_error
>>> y_true = [3, 5, 2.5, 7]
>>> y_pred = [2.5, 5, 4, 8]
>>> mean_squared_log_error(y_true, y_pred) ?
0.039...
>>> y_true = [[0.5, 1], [1, 2], [7, 6]]
>>> y_pred = [[0.5, 2], [1, 2.5], [8, 8]]
>>> mean_squared_log_error(y_true, y_pred) ?
0.044...

（5）Median absolute error（中位数绝对误差）
y_hat ：预测值， y ：真实值

中位数绝对误差适用于包含异常值的数据的衡量

>>> from sklearn.metrics import median_absolute_error
>>> y_true = [3, -0.5, 2, 7]
>>> y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
>>> median_absolute_error(y_true, y_pred)
0.5

（6） R2 score（决定系数、R方）

R方可以理解为因变量y中的变异性能能够被估计的多元回归方程解释的比例，它衡量各个自变量对因变量变动的解释程度，其取值在0与1之间，其值越接近1，则变量的解释程度就越高，其值越接近0，其解释程度就越弱。

一般来说，增加自变量的个数，回归平方和会增加，残差平方和会减少，所以R方会增大；反之，减少自变量的个数，回归平方和减少，残差平方和增加。

为了消除自变量的数目的影响，引入了调整的R方

>>> from sklearn.metrics import r2_score
>>> y_true = [3, -0.5, 2, 7]
>>> y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
>>> r2_score(y_true, y_pred) ?
0.948...
>>> y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
>>> y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
>>> r2_score(y_true, y_pred, multioutput='variance_weighted')
...?
0.938...
>>> y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
>>> y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
>>> r2_score(y_true, y_pred, multioutput='uniform_average')
...?
0.936...
>>> r2_score(y_true, y_pred, multioutput='raw_values')
...?
array([ 0.965..., ?0.908...])
>>> r2_score(y_true, y_pred, multioutput=[0.3, 0.7])
...?
0.925...

在python上实现交叉验证

############################交叉验证，评价模型的效果############################
from sklearn import datasets, linear_model
from sklearn.model_selection import cross_val_score
diabetes = datasets.load_diabetes()
X = diabetes.data[:150]
y = diabetes.target[:150]
lasso = linear_model.Lasso()
print(cross_val_score(lasso, X, y, cv=5)) ?# 默认是3-fold cross validation

############################交叉验证，评价模型的效果############################
from sklearn import datasets, linear_model
from sklearn.model_selection import cross_val_score
diabetes = datasets.load_diabetes()
X = diabetes.data[:150]
y = diabetes.target[:150]
lasso = linear_model.Lasso()
print(cross_val_score(lasso, X, y, cv=5)) ?# 默认是3-fold cross validation

################定义一个返回cross-validation rmse error函数来评估模型以便可以选择正确的参数########
from sklearn.linear_model import Ridge, RidgeCV, ElasticNet, LassoCV, LassoLarsCV
from sklearn.model_selection import cross_val_score
?
def rmse_cv(model):
? ? ##使用K折交叉验证模块，将5次的预测准确率打印出
? ? rmse= np.sqrt(-cross_val_score(model, X_train, y_train, scoring="neg_mean_squared_error", cv = 5)) ?#输入训练集的数据和目标值
? ? return(rmse)
? ??
model_ridge = Ridge()
?
alphas = [0.05, 0.1, 0.3, 1, 3, 5, 10, 15, 30, 50, 75]
cv_ridge = [rmse_cv(Ridge(alpha = alpha)).mean() ? ?#对不同的参数alpha，使用岭回归来计算其准确率
? ? ? ? ? ? for alpha in alphas]
?
cv_ridge
?
#绘制岭回归的准确率和参数alpha的变化图
cv_ridge = pd.Series(cv_ridge, index = alphas)
cv_ridge.plot(title = "Validation - Just Do It")
plt.xlabel("alpha")
plt.ylabel("rmse")

梯度下降法筛选最优模型

【单个特征】:?x_{cp}xcp?

如何筛选最优的模型（参数w，b）

已知损失函数是?L(w,b)= \sum_{n=1}^{10}\left ( \hat{y}^n - (b + w·x_{cp}) \right )^2L(w,b)=∑n=110?(y^?n?(b+w?xcp?))2?，需要找到一个令结果最小的?f^*f?，在实际的场景中，我们遇到的参数肯定不止?ww,?bb。