[数据结构与算法]每日一题：【力扣552】学生出勤记录 II——hard

前言

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LeetCode 552. 学生出勤记录 II

可以用字符串表示一个学生的出勤记录，其中的每个字符用来标记当天的出勤情况（缺勤、迟到、到场）。记录中只含下面三种字符：

• 'A'：Absent，缺勤
• 'L'：Late，迟到
• 'P'：Present，到场
  如果学生能够 同时 满足下面两个条件，则可以获得出勤奖励：

按 总出勤 计，学生缺勤（‘A’）严格 少于两天。
学生 不会 存在 连续 3 天或 连续 3 天以上的迟到（‘L’）记录。
给你一个整数 n，表示出勤记录的长度（次数）。请你返回记录长度为 n时，可能获得出勤奖励的记录情况 数量 。答案可能很大，所以返回对 10^9 + 7取余 的结果。

示例 1：

输入：n = 2
输出：8
解释：
有 8 种长度为 2 的记录将被视为可奖励：
"PP" , "AP", "PA", "LP", "PL", "AL", "LA", "LL" 
只有"AA"不会被视为可奖励，因为缺勤次数为 2 次（需要少于 2 次）。

示例 2：

输入：n = 1
输出：3

示例 3：

输入：n = 10101
输出：183236316

提示：
1 <= n <= 105

解法一：动态规划——$O(n)$

思路——找到重复状态，写状态方程

分析：

• 直接上动态规划！根据题意我们可以得到3种状态，细分为该位置是否以'A'结尾，写出位置在$i$——能拿到奖励的情况——的总数——状态转移方程$dp[i]$
  • ①以'A'结尾：
    -'A'只能出现一次，所以有$dp[i]=dp[i?1]?dp[n?i]$即'A'可以出现在任何地方，而情况总和为'A'前的所有情况$\times$'A'后的所有情况
  • ②不以A结尾：
    • Ⅰ.以P结尾，可以为???P即任意情况，所以$dp[i]=dp[i?1]$
    • Ⅱ 以L结尾，前面除了LL都可以，所以$dp[i]=dp[i?1]?dp[i?4]$，为什么要减去$dp[i?4]$呢？是因为以L结尾前面的情况不能像以P结尾一样，它是有限制的。那么限制是多少呢？我们只需要找到不符合条件的???PLLL这种情况，所以要从减去P前的情况，共为$dp[i?4]$

步骤——设置初始状态值，再利用状态转移方程计算数量

• ①设置模:根据题目要求，设置一个final long M = 1000000007;，用于取模
• ②初始化状态值：因为我们有$dp[i]=dp[i?1]?dp[i?4]$这种情况，所以只有当i >= 4的时候才能利用状态转移方程，为此我们要定义dp[0]~dp[3]这四种情况的状态值
• ③分情况计算数量，再合并：先计算不以A结尾，再利用得到的dp[n]计算以A结尾的情况，最终得到的是合并的结果
• ④注意点：
  • Ⅰ.dp的长度：dp.length = Math.max(n+1,4);
  • Ⅱ.取模:每次计算均要取模，且为了防止负数取模取出正数，需要$(M?x)modM$
  • Ⅲ.返回值：注意将long转为int

代码实现：

class Solution {
		//题目要求的取模
    final long M = 1000000007;
    public int checkRecord(int n) {
		//状态方程的最少需要长度为4的数组
        long[] dp = new long[n <= 3 ? 4 : n + 1];
		//先计算不含'A'的情况
        dp[0] = 1;//默认为1，
        dp[1] = 2;//长度为1，只有'P','L'2种情况
        dp[2] = 4;//长度为2，只有'PL','LP','PP','LL'4种情况
        dp[3] = 7;//长度为3，只有2*2*2 - 'LLL'= 7种情况
		//从i = 4开始可以利用状态方程
        for(int i = 4;i <= n;i ++){
       		//合并了不含'A'的状态方程
			//为了保证取余的同号，使用(M- X) % M
            dp[i] = (2* dp[i - 1] % M) + (M- dp[i -4]) % M;
        }
        long sum = dp[n];
		//现在开始计算包含'A'的情况
        for(int i = 1;i <= n;i ++){
            sum += (dp[i - 1] * dp[n - i]) % M;
        }
        return (int)(sum % M);
    }
}

复杂度分析：$O(n)$与$O(n)$

• 时间复杂度：$O(n)$——动态规划需要计算 n天的状态，每天的状态有3个，每天的状态需要$O(1)$的时间计算。
• 空间复杂度：$O(n)$——开辟了一个长度为$n+1$的数组

结尾

本题除了动态规划，还可以用矩阵来写，但是我还不会QAQ