[数据结构与算法]leetcode64.最小路径和

一.题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。
输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

二.题目解析

1.记忆化递归

public int minPathSum(int[][] grid) {
        return minPathSum(grid, grid.length - 1, grid[0].length - 1, new HashMap<String, Integer>());
    }

    public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j, Map<String, Integer> map) {
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[i][j];
        }
        String key = i + "*" + j;
        if (map.containsKey(key)) {
            return map.get(key);
        }
        int res = 0;
        //第一行只能从左边走过来
        if (i == 0) {
            res = grid[i][j] + minPathSum(grid, i, j - 1, map);
        }else if (j == 0) {
            //第一列只能从上面走下来
            res = grid[i][j] + minPathSum(grid, i - 1, j, map);
        }else {
            //取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值
            res = grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j, map), minPathSum(grid, i, j - 1, map));
        }
        map.put(key, res);
        return res;
    }

2.动态规划，二维dp数组

public int minPathSum1(int[][] grid) {
        /*动态规划.dp[i][j]表示左上角到(i,j)格子的最小距离
        时间复杂度O(mn),空间复杂度O(mn)
        * */
        if(grid == null || grid.length == 0){
            return 0;
        }
        int width = grid[0].length;
        int height = grid.length;
        int[][] dp = new int[height][width];
        //初始化左上角格子的dp值
        dp[0][0] = grid[0][0];
        //第一行的元素只能从其左侧元素而来
        for (int i = 1; i < width; i++) {
            dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
        }
        //第一列的元素只能由其上侧元素而来
        for (int i = 1; i < height; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        for (int i = 1; i < height; i++) {
            for (int j = 1; j < width; j++) {
                //每一个格子只能由其上侧元素或者左侧元素而来
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[height - 1][width - 1];
    }

3.动态规划，一维dp数组

public int minPathSum3(int[][] grid) {
        /*动态规划.dp[i][j]表示左上角到(i,j)格子的最小距离
        时间复杂度O(mn),空间复杂度O(m)（二维变一维）
            1 3 1           [1]->   [4]->   [5]
            1 5 1  ---->    [2]->   [5]->   [6]
            4 2 1           [6]->   [7]->   [7(最终结果)]
        * */
        if(grid == null || grid.length == 0){
            return 0;
        }
        int width = grid[0].length;
        int height = grid.length;
        int[] dp = new int[height];
        //初始化左上角格子的dp值
        dp[0] = grid[0][0];
        //初始化第一列的值
        for (int i = 1; i < height; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + grid[i][0];
        }
        for (int i = 1; i < width; i++) {
            for (int j = 0; j < height; j++) {
                //考虑第一行的格子比较特殊，只能从其左侧元素而来
                dp[j] = j - 1 >= 0 ? Math.min(dp[j - 1],dp[j]) + grid[j][i] : dp[j] + grid[j][i];
            }
        }
        return dp[height - 1];
    }

4.动态规划，若允许修改原数组，空间复杂度可降为O(1)

public int minPathSum2(int[][] grid) {
        /*动态规划.dp[i][j]表示左上角到(i,j)格子的最小距离
        时间复杂度O(mn),空间复杂度O(1)（直接在原数组上面操作）
        * */
        if(grid == null || grid.length == 0){
            return 0;
        }
        int width = grid[0].length;
        int height = grid.length;
        //无需初始化左上角格子的dp值
        //第一行的元素只能从其左侧元素而来
        for (int i = 1; i < width; i++) {
            grid[0][i] = grid[0][i - 1] + grid[0][i];
        }
        //第一列的元素只能由其上侧元素而来
        for (int i = 1; i < height; i++) {
            grid[i][0] = grid[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        for (int i = 1; i < height; i++) {
            for (int j = 1; j < width; j++) {
                //每一个格子只能由其上侧元素或者左侧元素而来
                grid[i][j] = Math.min(grid[i - 1][j],grid[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return grid[height - 1][width - 1];
    }