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[数据结构与算法]Java数据结构————二叉树

要想了解二叉树先要知道什么是树

一、树型结构（了解）

在这里插入图片描述

1.概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

它具有以下特点：

有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的

2. 树与非树

如果是一棵树那它的结点关系就必须满足一下几点，否则它就是非树

子树是不相交的
除了根节点外，每个结点有且仅有一个父亲节点
一颗N个结点的树拥有N-1条边

下图3个树就是非树
在这里插入图片描述

3. 树的一些重要的概念

在这里插入图片描述

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的度为6，E的度为2.
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度：节点的最大层次，上面那个树的高度就是4
树的深度：当前节点离根节点的距离，一棵树最大的深度也就是这棵树的高度

在这里插入图片描述
下面这些树的概念只需要了解即可，没必要记忆

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

4. 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，
如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
	char value; // 树中存储的数据
	Node firstChild; // 第一个孩子引用
	Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

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5. 树的一些应用

文件系统管理（目录和文件）
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二、二叉树

在这里插入图片描述

1.二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

二叉树的特点：

每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点
二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.二叉树的基本形态

在这里插入图片描述
上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

3.两种特殊的二叉树

满二叉树: 一个二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^K - 1，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

在这里插入图片描述

4. 二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log $_2$ (n+1) 向上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，
则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

5. 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。这里先介绍链式存储，顺序存储会在优先级队列中介绍。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
	char val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
	char val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
	Node parent; // 当前节点的根节点
}

本文采用的是孩子表示法来创建二叉树！

三、二叉树的基本操作

1.二叉树的遍历

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历
在这里插入图片描述
来看一下这棵二叉树的前、中、后序遍历
前序遍历(根左右)：A B D E H C F G
中序遍历(左根右)：D B E H A F C G
后序遍历(左右根)：D H E B F G C A

那么代码是怎么实现的呢？

2.前序遍历

二叉树是用递归遍历的，当然也可以用非递归实现。不过一般都是用递归。
思路：先打印根节点，再不断递归树的左，直到为空，再去递归右树。

// 前序遍历
    void preOrderTraversal(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrderTraversal(root.left);
        preOrderTraversal(root.right);
    }

3. 中序遍历

// 中序遍历
    void inOrderTraversal(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        inOrderTraversal(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrderTraversal(root.right);
    }

4. 后序遍历

// 后序遍历
    void postOrderTraversal(TreeNode root) {
        preOrderTraversal(root.left);
        preOrderTraversal(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

5. 求结点个数

求节点可以用遍历也可用子问题思路。
思路：非常简单，利用二叉树遍历的代码，把打印改成计数就好了。

 // 遍历思路-求结点个数
    static int size = 0;
    void getSize1(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        BinaryTree.size++;
        getSize1(root.left);
        getSize1(root.right);
    }
    // 子问题思路-求结点个数
    int getSize2(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        return getSize2(root.left)+getSize2(root.right)+1;
    }

6.求叶子结点个数

同样，求叶子节点的个数也有遍历和子问题两种方法
思路：因为叶子节点没有子节点，所以只要判读某个节点的左右都为空就是叶子节点。

// 遍历思路-求叶子结点个数
    static int leafSize = 0;
    void getLeafSize1(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        if (root.left == null && root.right == null) {
            BinaryTree.leafSize++;
        }
        getLeafSize1(root.left);
        getLeafSize1(root.right);
    }
    // 子问题思路-求叶子结点个数
    int getLeafSize2(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (root.right == null && root.left == null) {
            return 1;
        }

        return getLeafSize2(root.left)+getLeafSize2(root.right);
    }

7. 求第 k 层结点个数

思路：一直递归，递归到k-1等于0时就返回1，如果k-1没有等于0节点就为空了说明该树的左边或者右边在k层没有节点。

// 子问题思路-求第 k 层结点个数
    int getKLevelSize(TreeNode root,int k) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (k-1 == 0) {
            return 1;
        }

        return getKLevelSize(root.left,k-1)+getKLevelSize(root.right,k-1);
    }

8.获取二叉树的高度

思路：从根节点开始不断递归左树和右树取它们的较大值就是该树的高度

// 获取二叉树的高度
    int getHeight(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        return (leftHeight) > (rightHeight) ? (leftHeight+1) : (rightHeight+1);
    }

9. 查找 val 所在结点

	// 查找 val 所在结点，没有找到返回 null
    // 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找
    // 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找
    TreeNode find(TreeNode root, char val) {
        if (root == null) {
            return null;
        }
        if (root.val == val) {
            return root;
        }
        TreeNode ret = find(root.left,val);
        if (ret != null) {
            return root;
        }
        ret = find(root.right,val);
        if (ret != null) {
            return root;
        }
        return null;
    }

10. 层序遍历

层序遍历就是从上往下的一种顺序遍历
比如下面的这棵树的层序遍历就是：A B C D E F G H I
在这里插入图片描述
代码实现思路：我们需要一个队列，先把根节点入队，再出队。出队的同时如果它的左右节点不为空，那么就把它的左右节点入队，直到队列为空。

// 层序遍历
    void levelOrderTraversal(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);

        while  (!queue.isEmpty()){
            TreeNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val+" ");
            if(cur.left != null) {
                queue.offer(cur.left);
            }
            if(cur.right != null) {
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
    }

11. 判断一棵树是不是完全二叉树

思路：和层序遍历类似，不过这里的区别是出队的同时无论该节点的左右树是否为空都要入队。接着再一个个出队，同时判断如果队列还没出完时有一个元素为 null 则该树就不是一个完全二叉树。

// 判断一棵树是不是完全二叉树
    boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return true;
        }

        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode treeNode = queue.poll();
            queue.offer(root.left);
            queue.offer(root.right);
        }
        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode tmp = queue.poll();
            if(tmp == null) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }