[数据结构与算法]树、森林与二叉树的转换

一.转换

• 树、森林、二叉树 之间的转化是 唯一的

1.树$?$二叉树

（1）树$\to$二叉树

1. 将所有兄弟相连
2. 保留指向第一个孩子的指针，抹去其他
3. 以根为轴心顺时针转45°(即将所有兄弟变成右子)
   实际上是一个，从上到下，从左到右的右兄变右子的过程。
   
   树的先跟、二叉树的先序均为：ABEFGCHDIJ
   树的后跟、二叉树的中序均为：EFGBHCIJDA

（2）二叉树$\to$树
从上到下，依次将所有结点的右子变成其的右兄弟即可。

2.森林$?$二叉树

森林即一些树的集合。

（1）森林$\to$二叉树

1. 将每棵树转化成二叉树
2. 将每棵树的根视为兄弟结点，依次连接
3. 以第一颗树的根为轴心旋转45°（即将右兄(根)变右子）
   
   森林、二叉树的先序均为：ABCDEFGHJI
   森林、二叉树的中序均为：BCDAFEJHIG

（2）二叉树$\to$森林
1.从上到下，每次将根的右链断开，得到一些二叉树
2.将所有二叉树转化成树，得到森林

题——空指针计算：

树/森林 的叶结点数：$n_1$，非终端结点数：$n_2$，则转换成二叉树后
左子为空结点数：$n_1$，右子为空结点数：$n_2+1$

左子为空 = 叶结点数
树/森林：只有叶结点没有孩子，转化成二叉树后，左子为空，所以是$n_1$

右子为空 = 非叶结点数 + 1(根)
树/森林：每个非叶结点都有孩子，其最右边的孩子必然无右兄，即转换成二叉树后必然右子为空，$n_2$个右子为空
树：树的根无右兄，故 $n_2+1$
森林：森林的根视为兄弟相连，其最右边的根无右兄，故也是$n_2+1$

2011统考真题：2011个结点的树，叶结点数为116，其对应的二叉树中无右孩子节点的个数是：2011-116+1 = 1896
2014统考真题：森林F转换成二叉树T后，F中叶结点个数等于：T中左孩子指针为空的结点个数

树的 结点数=边数+1（结点数=总度数+1）
所以 森林中的 总结点数-总边数=森林中树的个数

2016统考真题：若森林F有15条边，25个结点，则F包含树的个数：25-15=10

二.遍历

1.树：

先根遍历：先访问根，再访问子树。对树的每一棵子树递归进行。
后跟遍历：先访问子树，后访问根。递归进行。

2.森林：

先序遍历：先访问第一棵树的根节点，先序遍历第一棵树根节点的子树森林，先序遍历第一棵树外其他树组成的森林。
中序遍历：中序遍历第一棵树的根节点的子树森林，访问第一棵树的根节点，中序遍历第一棵树外其他树组成的森林。

先根：根子
后根：子根
先序遍历森林：对每棵树依次进行先跟遍历
中序遍历森林：对每棵树依次进行后根遍历

等价关系：
树先根 = 森林先序 = 二叉树先序
树后根 = 森林中序 = 二叉树中序

2019统考真题 将树T转换成二叉树BT，则与T的后跟遍历相同的是：BT的中序遍历

三.树练习

1.求树叶子结点个数

孩子兄弟链表为存储结构。

int Q5(Tree T) {
	if (T == NULL)
		return 0;
	if(T->child==NULL)      //没有孩子的时候，说明是叶结点
		return Q5(T->sibling) + 1;
	else
		return Q5(T->sibling) + Q5(T->child);
}

2.求树高

孩子兄弟链表为存储结构。

int Q6(Tree T) {
	if (T == NULL)
		return 0;
	else
		return Q6(T->child) + 1 > Q6(T->sibling) ? Q6(T->child) + 1 : Q6(T->sibling);
}

一般二叉树的递归求高为

return Q(T->lchild) > Q(T->rchild) ? Q(T->lchild) + 1 : Q(T->rchild) + 1;

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