题目

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点在这里指的是下标与上一层结点下标相同或者等于上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
? ?2
? 3 4
?6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为?11（即，2?+?3?+?5?+?1?= 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-10^4 <= triangle[i][j] <= 10^4

解答

动态规划

思路：在本题中，给定的三角形的行数为 n ( triangle.size( ) )，并且第 i 行（从 0 开始编号）包含了 i+1 个数。如果将每一行的左端对齐，那么会形成一个等腰直角三角形，如下所示：

[2]

[3,4]

[6,5,7]

[4,1,8,3]

我们用 res[i][j] 表示从三角形顶部走到位置 (i, j) 的最小路径和。这里的位置 (i, j) 指的是三角形中第 i 行第 j 列（均从 0 开始编号）的位置。

由于每一步只能移动到下一行「相邻的节点」上，因此要想走到位置 (i, j)，上一步就只能在位置 (i - 1, j - 1) 或者位置 (i - 1, j)。我们在这两个位置中选择一个路径和较小的来进行转移，状态转移方程为：

res[i][j] = min(res[i?1][j?1], res[i?1][j]) + c[i][j]

其中 c[i][j] 表示位置 (i, j) 对应的元素值。

注意第 i?行有 i+1 个元素，它们对应的 j?的范围为 [0, i]。当 j=0 或 j=i?时，上述状态转移方程中有一些项是没有意义的。例如当 j=0 时，res[i-1][j-1] 没有意义，因此状态转移方程为：

res[i][0] = res[i-1][0] + c[i][0]

即当我们在第 i?行的最左侧时，我们只能从第 i-1 行的最左侧移动过来。当 j=i 时，res[i-1][j] 没有意义，因此状态转移方程为：

res[i][i] = res[i-1][i-1] + c[i][i]

即当我们在第 i 行的最右侧时，我们只能从第 i-1 行的最右侧移动过来。

最终的答案即为 res[n-1][0] 到 res[n-1][n-1] 中的最小值，其中 n?是三角形的行数。

状态转移方程的边界条件是什么？由于我们已经去除了所有「没有意义」的状态，因此边界条件可以定为：

f[0][0] = c[0][0]

即在三角形的顶部时，最小路径和就等于对应位置的元素值。这样一来，我们从 1?开始递增地枚举 i，并在 [0, i] 的范围内递增地枚举 j，就可以完成所有状态的计算。

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int size = triangle.size();
        vector<vector<int>> res(size, vector<int>(size, INT_MAX));
        //vector<vector<int>> res(size, vector<int>(size));
        res[0][0] = triangle[0][0];
        for(int i = 1; i < size; i++){
            res[i][0] = res[i-1][0] + triangle[i][0];
            for(int j = 1; j < i; j++){
                res[i][j] = min(res[i-1][j-1], res[i-1][j]) + triangle[i][j];
            }
            res[i][i] = res[i-1][i-1] + triangle[i][i];
        }
        return *min_element(res[size-1].begin(), res[size-1].end()); // 最后一行
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n^2)，其中 n (size)?是三角形的行数。

空间复杂度：O(n^2)。我们需要一个? size * size? 的二维数组存放所有的状态。