[数据结构与算法]数据结构--平衡二叉树

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平衡二叉树

• 二叉树上的结点上的左子树的深度的值减去右子树的深度的值叫做平衡因子BF
• 平衡二叉树就是一棵二叉树上所有结点的平衡因子的绝对值小于等于1的树

判断平衡二叉树

• 是二叉排序树
• 二叉树上所有结点的平衡因子的绝对值小于等于1

下图不是平衡二叉树，因为不满足为二叉排序树，二叉排序树是左子树都小于根节点，右子树大于根节点的二叉树。

下图也不是平衡二叉树，不满足节点的平衡因子的绝对值小于等于1.

?

下图为平衡二叉树

?

?旋转为平衡二叉树

• 旋转方式：左旋和右旋

左旋：旧根节点为新根节点的左子树，新根节点的左子树（如果存在）为旧根节点的右子树。

void L_Rotate(BiTree *P)
{ 
  BiTree R;
  R=(*P)->rchild; 
  (*P)->rchild=R->lchild;  
  R->lchild=(*P);
  *P=R; /*  P指向新的根结点 */ 
}

右旋：旧根节点为新根节点的右子树，新根节点的右子树（如果存在）为旧根节点的左子树。

void R_Rotate(BiTree *P)
{ 
  BiTree L;
  L=(*P)->lchild;  
  (*P)->lchild=L->rchild; 
  L->rchild=(*P);
  *P=L; /*  P指向新的根结点 */ 
}

• 旋转的四种情况：LL型、LR型、RR型、RL型。

LL型的旋转：进行右旋转

?

LR型的旋转：先左旋转再右旋转

?左旋转

?

?右旋转

?RR型：左旋转

?

?RL型的旋转：先右旋转再左旋转

右旋转

?

?左旋转

?平衡二叉树的完整代码

#include <stdio.h>    
#include <stdlib.h>
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
?
typedef int Status;  /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */ 
?
?
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode  /* 结点结构 */
{
  int data;  /* 结点数据 */
  int bf; /*  结点的平衡因子 */ 
  struct BiTNode *lchild, *rchild;  /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;
?
?
/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理， */
/* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 */
void R_Rotate(BiTree *P)
{ 
  BiTree L;
  L=(*P)->lchild; /*  L指向P的左子树根结点 */ 
  (*P)->lchild=L->rchild; /*  L的右子树挂接为P的左子树 */ 
  L->rchild=(*P);
  *P=L; /*  P指向新的根结点 */ 
}
?
/* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， */
/* 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0  */
void L_Rotate(BiTree *P)
{ 
  BiTree R;
  R=(*P)->rchild; /*  R指向P的右子树根结点 */ 
  (*P)->rchild=R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */ 
  R->lchild=(*P);
  *P=R; /*  P指向新的根结点 */ 
}
?
#define LH +1 /*  左高 */ 
#define EH 0  /*  等高 */ 
#define RH -1 /*  右高 */ 
?
/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void LeftBalance(BiTree *T)
{ 
  BiTree L,Lr;
  L=(*T)->lchild; /*  L指向T的左子树根结点 */ 
  switch(L->bf)
  { /*  检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理 */ 
     case LH: /*  新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */ 
      (*T)->bf=L->bf=EH;
      R_Rotate(T);
      break;
     case RH: /*  新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */ 
      Lr=L->rchild; /*  Lr指向T的左孩子的右子树根 */ 
      switch(Lr->bf)
      { /*  修改T及其左孩子的平衡因子 */ 
        case LH: (*T)->bf=RH;
             L->bf=EH;
             break;
        case EH: (*T)->bf=L->bf=EH;
             break;
        case RH: (*T)->bf=EH;
             L->bf=LH;
             break;
      }
      Lr->bf=EH;
      L_Rotate(&(*T)->lchild); /*  对T的左子树作左旋平衡处理 */ 
      R_Rotate(T); /*  对T作右旋平衡处理 */ 
  }
}
?
/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */ 
/*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */ 
void RightBalance(BiTree *T)
{ 
  BiTree R,Rl;
  R=(*T)->rchild; /*  R指向T的右子树根结点 */ 
  switch(R->bf)
  { /*  检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */ 
   case RH: /*  新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */ 
        (*T)->bf=R->bf=EH;
        L_Rotate(T);
        break;
   case LH: /*  新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */ 
        Rl=R->lchild; /*  Rl指向T的右孩子的左子树根 */ 
        switch(Rl->bf)
        { /*  修改T及其右孩子的平衡因子 */ 
        case RH: (*T)->bf=LH;
             R->bf=EH;
             break;
        case EH: (*T)->bf=R->bf=EH;
             break;
        case LH: (*T)->bf=EH;
             R->bf=RH;
             break;
        }
        Rl->bf=EH;
        R_Rotate(&(*T)->rchild); /*  对T的右子树作右旋平衡处理 */ 
        L_Rotate(T); /*  对T作左旋平衡处理 */ 
  }
}
?
/*  若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 */ 
/*  数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */ 
/*  失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 */
Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller)
{  
  if(!*T)
  { /*  插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */ 
     *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
     (*T)->data=e; (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL; (*T)->bf=EH;
     *taller=TRUE;
  }
  else
  {
    if (e==(*T)->data)
    { /*  树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */ 
      *taller=FALSE; return FALSE;
    }
    if (e<(*T)->data)
    { /*  应继续在T的左子树中进行搜索 */ 
      if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) /*  未插入 */ 
        return FALSE;
      if(*taller) /*   已插入到T的左子树中且左子树“长高” */ 
        switch((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */ 
        {
          case LH: /*  原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */ 
              LeftBalance(T);  *taller=FALSE; break;
          case EH: /*  原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */ 
              (*T)->bf=LH; *taller=TRUE; break;
          case RH: /*  原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */  
              (*T)->bf=EH; *taller=FALSE; break;
        }
    }
    else
    { /*  应继续在T的右子树中进行搜索 */ 
      if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) /*  未插入 */ 
        return FALSE;
      if(*taller) /*  已插入到T的右子树且右子树“长高” */ 
        switch((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */ 
        {
          case LH: /*  原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */ 
              (*T)->bf=EH; *taller=FALSE;  break;
          case EH: /*  原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高  */
              (*T)->bf=RH; *taller=TRUE; break;
          case RH: /*  原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */ 
              RightBalance(T); *taller=FALSE; break;
        }
    }
  }
  return TRUE;
}
?
int main(void)
{    
  int i;
  int a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};
  BiTree T=NULL;
  Status taller;
  for(i=0;i<10;i++)
  {
    InsertAVL(&T,a[i],&taller);
  }
  printf("本样例建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");
  return 0;
}

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