一、题目描述

P1192 台阶问题
题目描述
有N级的台阶，你一开始在底部，每次可以向上迈最多K级台阶（最少11级），问到达第N级台阶有多少种不同方式。

输出格式
一个正整数，为不同方式数，由于答案可能很大，你需要输出ans mod 100003后的结果。

说明/提示：
对于20%的数据,有N ≤ 10, K ≤ 3;
对于40%的数据，有N ≤ 1000;
对于100%的数据，有N ≤ 100000,K ≤ 100。

二、解题过程

看完柳神的文章，我现在对看题解已经没有很大的心里隔阂（看题解真的真的收获很大），是的，没错，又是一道研究了很久题解才AC的题
一开始没有很明白说明提示部分有什么用，后来才明白这个部分限制的是N的取值范围[1,100000]

三、代码

1）用递归实现

第一阶段的代码是用递归来写，具体的递归过程就是仿斐波那契数列的递归实现，因为结果都可用递归形式描述
后来的结果就是测试数据2个AC，3个TLE

#include<iostream>
using namespace std;
int n,k,ans;  //依题设
const int mod=100003; //依输出格式设
//在k相同的情况下，ans与n有一定关系
/*该关系为：令f(n)=ans，f(0)=f(1)=1
	当n<=k时，等比数列，f(n)=2*f(n-1);
	当n>k时， f(n)=2*f(n-1)-f(n-k-1);
*/

// 解决本来就是递归形式定义的问题 
int rule(int n,int k){
	if(n<0) cout<<"输入错误！"; 
	if(n == 0||n == 1) return 1;
	if(n<=k) 
		return (2*rule(n-1,k))%mod;
	else
		return (2*rule(n-1,k)-rule(n-k-1,k))%mod;
}

int main()
{
	cin>>n>>k;
	cout<<rule(n,k);
	return 0;	
}

2）用数组实现

第一个阶段的思路是没问题的，但是超时问题怎么解决呢，这个也困扰了我很久
于是我又开始研究题解，最后我终于通过此题理解了数组的用处
但数组之后的难题是模运算，最后突然想明白，题目的”由于答案可能很大，你需要输出ans mod 100003后的结果“这句话的真正含义

#include<iostream>
using namespace std;
int N,k,ans=0;  //依题设
int a[1000000];  //由提示说明部分可知，N的最大值为100000
const int mod=100003;
int main()
{
	cin>>N>>k;
	a[0]=a[1]=1;
	for(int n=2;n<=N;n++)
	{
		if(n<=k)
		{
		//直接根据递推公式将不同N值对应的ans用数组存起来
		//下标n即N的值
		//因为最后的a[n]值需要从a[1]推出
		//要得a[N]即ans，所以a[2]到a[n]的值都要计算出来，故用了一个for循环实现 
			a[n]=(a[n-1]*2)%mod;
		}
		else 
		{
			a[n]=(a[n-1]*2-a[n-k-1])%mod;
			//当被除数大于mod时，ans体现的是其在一定区间的相对位置，
			//这个区间是指，[mod,2*mod)、[2*mod,3*mod)...以此类推
			//ans取值范围为[1,mod-1) 
		}
	} 
	ans=(a[N]+2*mod)%mod; 
	//所以这一步先加上mod最后的结果也不会有影响(取模后的结果还是体现相对位置) 
 	/*至于为什么要加上这一步，
	 因为在 a[n]=(a[n-1]*2-a[n-k-1])%mod;这一步中，
	 a[n-1]*2和a[n-k-1]这两个数值的大小关系是不确定的,
	 (原本a[n-1]*2>a[n-k-1]是肯定的，但取模后它们的大小关系已经不确定了)
	 所以它们相减后的结果a[n]可能是负数,
	 加上mod(100003是相对大的数)(只要是mod的整数倍就可)再取模就可以保证结果为正数，
	 使其结果范围还是[1,mod-1)。 
	*/
 	
    cout<<ans;
    return 0;
}