[数据结构与算法] Stata：工具变量法（两阶段最小二乘法2SLS）—

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[数据结构与算法]Stata：工具变量法（两阶段最小二乘法2SLS）——解决模型内生性

计量良心OLS大法在解释变量与扰动项不相关时较为常用，一旦二者出现相关性往往无法解决，此时OLS估计可能不一致，问题产生原因可能是遗漏变量、联立偏差等。较为常见的解决方法是使用工具变量法。
本文以 $y = a 0 + a 1 ? c + u i$ 为例， $y$ 为被解释变量， $c$ 为解释变量，但模型有内生性，此时选取工具变量为 $x$ 。

工具变量的选择

首先工具变量的选择要满足两个条件：

相关性：工具变量与内生解释变量相关，即 $C o v （ x ， c ） \neq = 0$
外生性：工具变量与 $u i$ 不相关，即 $C o v （ x ， u i ） = 0$

两阶段最小二乘法

核心思路：c与ui相关，将c中与ui相关的部分分力出去，只留下与其不相关部分；其中转换工具被称为工具变量（IV）。

通过工具变量x重新拟合

用来代替c进行估计

c_hat

与ui相关

与ui不相关

y=a0+a1*c_hat+ei

得出a0,a1即为估计参数

第一阶段

构造 $c = b 0 + b 1 ? x + v i$ ，通过OLS估计的参数，拟合出 $\hat{c}$ 。此时c与ui相关， $\hat{c}$ 与ui不相关

第二阶段

通过y与 $\hat{c}$ 构模型 $y=b0+b1*\hat{c}+ei$ ，估计出 $b 1 ， b 0$ 即为需求参数。
tips：证明 $\hat{c}$ 与 $e i$ 正交
通过模型 $c = a 0 + a 1 ? x + v i$ 估计出 $a 0, a 1$ ，再拟合出 $\hat{c}=a0+a1*x$

原模型 $y = a 0 + a 1 ? c + u i$ 可化为：
$y=a0+a1*\hat{c}+[a1*(c-\hat{c})+ui]$

其中 $ei=[a1*(c-\hat{c})+ui]$
$Cov(\hat{c},ei)=Cov(\hat{c},ui)+a1Cov(\hat{c},c-\hat{c})$

其中 $c-\hat{c}=vi,Cov(\hat{c},vi)=0$ ，所以 $a1Cov(\hat{c},c-\hat{c})=0$
由于外生性要求：工具变量与 $u i$ 不相关，即 $C o v （ x ， u i ） = 0$ ，而 $x$ 与 $\hat{c}$ 为线性函数，所以 $Cov(\hat{c},ui)=0$
进而得出 $\hat{c}$ 与 $e i$ 正交，即 $Cov(\hat{c},ei)=0$