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计量良心OLS大法在解释变量与扰动项不相关时较为常用，一旦二者出现相关性往往无法解决，此时OLS估计可能不一致，问题产生原因可能是遗漏变量、联立偏差等。较为常见的解决方法是使用工具变量法。
本文以
y
=
a
0
+
a
1
?
c
+
u
i
y=a0+a1*c+ui
y=a0+a1?c+ui为例，
y
y
y为被解释变量，
c
c
c为解释变量，但模型有内生性，此时选取工具变量为
x
x
x。
工具变量的选择
首先工具变量的选择要满足两个条件：
- 相关性：工具变量与内生解释变量相关，即
C
o
v
（
x
，
c
）
≠
0
Cov（x，c）≠0
Cov（x，c）?=0
- 外生性：工具变量与
u
i
ui
ui不相关，即
C
o
v
（
x
，
u
i
）
=
0
Cov（x，ui）=0
Cov（x，ui）=0
两阶段最小二乘法
- 核心思路：c与ui相关，将c中与ui相关的部分分力出去，只留下与其不相关部分；其中转换工具被称为工具变量（IV）。
通过工具变量x重新拟合
用来代替c进行估计
c
c_hat
与ui相关
与ui不相关
y=a0+a1*c_hat+ei
得出a0,a1即为估计参数
第一阶段
构造
c
=
b
0
+
b
1
?
x
+
v
i
c=b0+b1*x+vi
c=b0+b1?x+vi，通过OLS估计的参数，拟合出
c
^
\hat{c}
c^。此时c与ui相关，
c
^
\hat{c}
c^与ui不相关
第二阶段
通过y与
c
^
\hat{c}
c^构模型
y
=
b
0
+
b
1
?
c
^
+
e
i
y=b0+b1*\hat{c}+ei
y=b0+b1?c^+ei，估计出
b
1
，
b
0
b1，b0
b1，b0即为需求参数。
tips：证明
c
^
\hat{c}
c^与
e
i
ei
ei正交
通过模型
c
=
a
0
+
a
1
?
x
+
v
i
c=a0+a1*x+vi
c=a0+a1?x+vi估计出
a
0
,
a
1
a0,a1
a0,a1，再拟合出
c
^
=
a
0
+
a
1
?
x
\hat{c}=a0+a1*x
c^=a0+a1?x
原模型
y
=
a
0
+
a
1
?
c
+
u
i
y=a0+a1*c+ui
y=a0+a1?c+ui可化为：
y
=
a
0
+
a
1
?
c
^
+
[
a
1
?
(
c
?
c
^
)
+
u
i
]
y=a0+a1*\hat{c}+[a1*(c-\hat{c})+ui]
y=a0+a1?c^+[a1?(c?c^)+ui]
其中
e
i
=
[
a
1
?
(
c
?
c
^
)
+
u
i
]
ei=[a1*(c-\hat{c})+ui]
ei=[a1?(c?c^)+ui]
C
o
v
(
c
^
,
e
i
)
=
C
o
v
(
c
^
,
u
i
)
+
a
1
C
o
v
(
c
^
,
c
?
c
^
)
Cov(\hat{c},ei)=Cov(\hat{c},ui)+a1Cov(\hat{c},c-\hat{c})
Cov(c^,ei)=Cov(c^,ui)+a1Cov(c^,c?c^)
- 其中
c
?
c
^
=
v
i
,
C
o
v
(
c
^
,
v
i
)
=
0
c-\hat{c}=vi,Cov(\hat{c},vi)=0
c?c^=vi,Cov(c^,vi)=0，所以
a
1
C
o
v
(
c
^
,
c
?
c
^
)
=
0
a1Cov(\hat{c},c-\hat{c})=0
a1Cov(c^,c?c^)=0
- 由于外生性要求：工具变量与
u
i
ui
ui不相关，即
C
o
v
（
x
，
u
i
）
=
0
Cov（x，ui）=0
Cov（x，ui）=0，而
x
x
x与
c
^
\hat{c}
c^为线性函数，所以
C
o
v
(
c
^
,
u
i
)
=
0
Cov(\hat{c},ui)=0
Cov(c^,ui)=0
进而得出
c
^
\hat{c}
c^与
e
i
ei
ei正交，即
C
o
v
(
c
^
,
e
i
)
=
0
Cov(\hat{c},ei)=0
Cov(c^,ei)=0
相关检验
首先对于选用OLS还是工具变量法，需要进行豪斯曼检验
此方法中工具变量的选取最为关键，可能有三种情况：
- 不可识别：需要工具变量个数<内生变量个数
- 恰好识别：需要工具变量个数=内生变量个数
- 过度识别：需要工具变量个数>内生变量个数
其对应需要进行的检验为： - 不可识别检验
- 弱工具变量检验
- 过度识别检验
代码相关
https://blog.csdn.net/weixin_47325163/article/details/119941326?spm=1001.2014.3001.5501
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