[数据结构与算法]【洛谷】【动态规划】【高精度】P1018 [NOIP2000 提高组] 乘积最大

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1018

题目描述

今年是国际数学联盟确定的“ 2000 ――世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰 90 周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友 XZ 也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为 N 的数字串，要求选手使用 K 个乘号将它分成 K+1 个部分，找出一种分法，使得这 K+1 个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312， 当 N=3,K=1 时会有以下两种分法：

1. 3×12=36
2. 31×2=62

这时，符合题目要求的结果是: 31×2=62

现在，请你帮助你的好朋友 XZ 设计一个程序，求得正确的答案。

输入格式

程序的输入共有两行：

第一行共有 2 个自然数 N,K（6≤N≤40,1≤K≤6）

第二行是一个长度为 N 的数字串。

输出格式

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

测试样例

输入
4 2
1231
输出
62

解题思路

用一个数组cnt[i][j]存储在第i个数字后放第j个乘号，第1到第i个数的乘积的最大值。

如果j=k，说明所有的乘号都已经放完，那么ans[i]就表示最后一个乘号放在第i个数后面的最大值，此时要乘上后面的数。因为后面的数是一定的，cut[i][j]是已知的最大值，所以ans[i]可以由唯一的路径转移。

最后比较所有的ans[i]，选择最大值输出。

完成以上步骤需要至少三个操作：

1.取数 将没有乘号分隔的连续的数字变成一个数，进行运算

2.比较 没有比较哪来的最大值

3.乘法 将乘号两边取到的数乘起来

由于n<=40，所以这些操作要用高精度的方式进行

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,k,a[50];
char s[50];

struct node
{
    int digit;   //位数
    bool exist;  //是否存在
    int num[50]; //高精度
}cnt[50][10],ans[50];
//取数操作，注意：要从右往左取，因为高精度数组是从低位往高位排的，而读入的数字串是从高位到低位
node get_num(int l,int r)
{
    node ret;
    ret.digit = r - l + 1;
    ret.exist = true;
    for(int i=1;i<=ret.digit;i++)
    {
        //注意取数的方向，不要反了
        ret.num[i] = a[r-i+1];
    }
    return ret;
}
//高精度乘法
node mul(node n1,node n2)
{
    node ret;
    ret.digit = n1.digit + n2.digit - 1;
    ret.exist = true;
    for(int i=1;i<=ret.digit;i++)
    {
        ret.num[i] = 0;
    }
    for(int i=1;i<=n1.digit;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n2.digit;j++)
        {
            ret.num[i+j-1] += n1.num[i] * n2.num[j];
        }
    }
    //考虑进位
    int c = 0;
    for(int i=1;i<=ret.digit;i++)
    {
        ret.num[i] += c;
        c = ret.num[i]/10;
        ret.num[i] %= 10;
    }
    while(c)
    {
        ret.num[++ret.digit] = c%10;
        c /= 10;
    }
    return ret;
}
//高精度比较，类似字符串
node compare(node n1,node n2)
{
    if(!n1.exist || n1.digit < n2.digit) return n2;
    if(!n2.exist || n1.digit > n2.digit) return n1;
    for(int i=n1.digit;i>=1;i--)
    {
         if(n1.num[i]>n2.num[i]) return n1;
        else if(n1.num[i]<n2.num[i]) return n2;
    }
    return n1;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    scanf("%s",s);
    //字符数组->整数
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        a[i+1] = s[i] - '0';
    }
    //初始化
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans[i].exist = false;
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            cnt[i][j].exist = false;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        //只放一个乘号的话不需要转移
        cnt[i][1] = get_num(1,i);
        for(int j=2;j<=k;j++)
        {
            //因为第i个数后放置的乘号最多是第i个，所以从j-1枚举front（前置位）
            for(int z=j-1;z<i;z++)
            {
                if(cnt[z][j-1].exist) cnt[i][j] = compare(cnt[i][j],mul(cnt[z][j-1],get_num(z+1,i)));
            }
        }
        //转移状态
        if(cnt[i][k].exist)
        {
            ans[i] = mul(cnt[i][k],get_num(i+1,n));
        }
    }
    node max_ans;
    max_ans.exist = false;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        node tmp = compare(ans[i],max_ans);
        max_ans = tmp;
    }
    for(int i=max_ans.digit;i>=1;i--)
    {
        cout<<max_ans.num[i];
    }
    return 0;
}