[数据结构与算法]算法设计与分析——堆（四）：优先队列

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本文我们要介绍堆的一个常见应用：作为高效的优先队列。和堆一样，优先队列也有两种形式：最大优先队列和最小优先队列。这里我们关注于如何基于最大堆实现最大优先队列，但是在本博客主要采用的Python语言中，用heapq模块构建的堆是最小堆。

优先队列是一种用来维护由一组元素构成的集合$S$的数据结构，其中的每一个元素都有一个相关的值，称为关键字。一个最大优先队列支持以下操作：

• heap_insert(S, x)：把元素$x$插入集合$S$中。这一操作等价于 S = S ∪ { x } S=S\cup \{x\} S=S∪{x}
• heap_maximum(S)：返回$S$中具有最大键字的元素。
• heap_extract_max(S)：去掉并返回$S$中的具有最大键字的元素。
• heap_increase_key(S, i, k)：将元素$x$的关键字值增加到$k$，这里假设$k$的值不小于$x$的原关键字值。

最大优先队列的应用有很多，其中一个就是在共享计算机系统的作业调度。最大优先队列记录将要执行的各个作业以及它们之间的相对优先级。当一个作业完成或者被中断后，调度器调用extract_max(s)从所有的等待作业中，选出具有最高优先级的作业来执行。在任何时候，调度器可以调用heap_insert(S, x)把一个新作业加入到队列中来。

相应地，最小优先队列支持的操作也包括插入、最小元素、去掉并返回最小元素等。最小优先队列可以被用于基于事件驱动的模拟器。队列中保存要模拟的事件，每个事件都有一个发生时间作为其关键字。事件必须按照发生的时间顺序进行模拟，因为某一事件的模拟结果可能会触发对其他事件的模拟。在每一步，模拟程序调用extract_min(S)来选择下一个要模拟的事件。当一个新事件产生时，模拟器通过调用heap_insert(S, x)将其插入最小优先级队列中。

显然，优先队列可以用堆来实现。对一个像作业调度或事件驱动模拟器这样的应用程序来说，优先队列的元素对应着应用程序中的对象。通常，我们需要确定哪个对象对应一个给定的优先队列元素，反之亦然。因此，在用堆来实现优先队列时，需要在堆中的每个元素里存储对应对象的句柄。句柄（如一个指针或一个整型数等）的准确含义依赖于具体的应用程序。同样，在应用程序的对象中，我们也需要存储一个堆中对应元素的句柄。通常，这一句柄是数组的下标。由于在堆的操作过程中，元素会改变其在数组中的位置，因此，在具体的实现中，在重新确定堆元素位置时，我们也需要更新相应应用程序对象中的数组下标。因为对应用程序对象的访问细节强烈依赖于应用程序及其实现方式，所以这里我们不做详细讨论。需要强调的是，这些句柄也需要被正确地维护。
现在，我们来讨论如何实现最大优先队列的操作。过程heap_maximum(S)可以在$\Theta (1)$时间内实现找出最大元素操作。

def heap_maximum(S):
	return S[0]

过程heap_extract_max(S)实现去掉并返回$S$中的具有最大键字的元素的操作。它与heapSort(arr)过程中的for循环体部分很相似。

def heap_extract_max(S):
	max = heap_maximum(S)
	A[0] = A[len(A) - 1]
	max_heap(A)
	return max

heap_extract_max(S)的时间复杂度为$O(\lg n)$。因为除了时间复杂度为$O(\lg n)$的max_heap(A)以外，它的其他操作都是常数阶的。

heap_increase_key(S, i, k)能够实现将元素$x$的关键字值增加到$k$，这里假设$k$的值不小于$x$的原关键字值操作。在优先队列中，我们希望增加关键字的优先队列元素由对应的数组下标$i$来标识。这一操作需要首先将元素$A[i]$的关键字更新为新值。因为增大$A[i]$的关键字可能会违反最大堆的性质，所以上述操作采用了类似于《排序算法（一）：插入排序》中插入循环的方式，在从当前结点到根结点的路径上，为新增的关键字寻找恰当的插入位置。在heap_increase_key(S, i, k)的操作过程中，当前元素会不断地与其父结点进行比较，如果当前元素的关键字较大，则当前元素与其父结点进行交换。这过程会不断地重复，直到当前元素的关键字小于其父结点时终止，因为此时已经重新符合了最大堆的性质。

def heap_increase_key(S, i, k):
	if k < A[i]:
		print('New key is smaller than current key.')
		return k
	A[i] = k
	while i > 0 and A[parent(i)] < A[i]:
		A[i], A[parent(i)] = A[parent(i)], A[i]
		i = parent(i)

下图显示了heap_increase_key(S, i, k)的一个操作过程。在包含$n$个元素的堆上，heap_increase_key(S, i, k)的时间复杂度是$O(\lg n)$。

同理，heap_insert(S, x)能够实现把元素$x$插入集合$S$中的操作。它的输入是要被插入到最大堆$S$中的新元素的关键字。heap_insert(S, x)首先通过增加一个关键字为$A[len(A)?1]?1$的叶结点来扩展最大堆。然后调用heap_increase_key(S, len(A), x)为新结点设置对应的关键字，同时保持最大堆的性质。

def heap_insert(S, x):
	A[len(A)] = A[len(A) - 1] - 1
	heap_increase_key(S, len(A), x)

综上所述，在一个包含$n$个元素的堆中，所有优先队列的操作都可以在$O(\lg n)$时间内完成。