高级排序争取降低算法的时间复杂度最高阶次幂
目录
1.希尔排序
1.1希尔排序原理及实现
希尔排序是插入排序的一种，又称“缩小增量排序”，是插入排序算法的一种更高效的改进版本。
排序原理：
1.选定一个增长量h，按照增长量h作为数据分组的依据，对数据进行分组；
2.对分好组的每一组数据完成插入排序；
3.减小增长量，最小减为1，重复第二步操作。
希尔排序图解举例
?h的最大值选取、减少规则
int h=1
while(h<5){
h=2h+1；//3,7
}
//循环结束后我们就可以确定h的最大值；
h的减小规则为：
h=h/2?API设计
完整代码
public class Shell {
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a){
//1.根据数组a的长度，确定增长量h的初始值：
/*
int h=1;
while(h<a.length/2){
h=2*h+1;
}
*/
int h = a.length/2;
System.out.println(a.length);
System.out.println(h);
while(h>=1){
//排序
//2.1找到待插入的元素
for (int i = h; i < a.length; i++) {
//2.2将待插入的元素插入
for (int j=i;j>=h;j-=h) {
//待插入的元素事a[j]比较a[j]和a[a-h]
if(greater(a[j-h],a[j])){
//交换元素
exch(a,j-h,j);
}else{
//待插入元素已经找到了合适的位置,结束循环;
break;
}
}
}
//
//减小h的值
h=h/2;
}
//2.希尔排序
}
//比较v元素是否大于w元素
public static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w) > 0;
}
//数组元素交换位置
private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
Comparable temp;
temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
}核心代码?
public static void sort(Comparable[] a){
//1.根据数组a的长度，确定增长量h的初始值：
/*
int h=1;
while(h<a.length/2){
h=2*h+1;
}
*/
int h = a.length/2;
System.out.println(a.length);
System.out.println(h);
while(h>=1){
//排序
//2.1找到待插入的元素
for (int i = h; i < a.length; i++) {
//2.2将待插入的元素插入
for (int j=i;j>=h;j-=h) {
//待插入的元素事a[j]比较a[j]和a[a-h]
if(greater(a[j-h],a[j])){
//交换元素
exch(a,j-h,j);
}else{
//待插入元素已经找到了合适的位置,结束循环;
break;
}
}
}
//
//减小h的值
h=h/2;
}
//2.希尔排序
}1.2希尔排序算法复杂度分析
事后分析法
核心代码
public static void testInsertion(Integer[] arr){
//使用插入排序完成测试
long start = System.currentTimeMillis();
Insertion.sort(arr);
long end= System.currentTimeMillis();
System.out.println("使用插入排序耗时："+(end-start));
}
public static void testShell(Integer[] arr){
//使用希尔排序完成测试
long start = System.currentTimeMillis();
Shell.sort(arr);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("使用希尔排序耗时："+(end-start));
}2.归并排序
2.1归并排序原理及实现
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子 序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序 表，称为二路归并。
排序原理：
1.尽可能的一组数据拆分成两个元素相等的子组，并对每一个子组继续拆分，直到拆分后的每个子组的元素个数是 1为止。
2.将相邻的两个子组进行合并成一个有序的大组；
3.不断的重复步骤2，直到最终只有一个组为止。
?归并排序API设计：
?完整代码：
public class Merge {
//归并所需的辅助数组
private static Comparable[] assist;
private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w) < 0;
}
//数组元素交换位置
private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
Comparable temp;
temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
//对数组a中的元素进行排序
public static void sort(Comparable[] a){
//1.初始化辅助数组assist
assist = new Comparable[a.length];
//2.定义一个lo变量和hi变量，分别记录数组中最小的索引和最小的索引；
int lo=0;
int hi=a.length-1;
//3.调用sort重载方法完成数组a中，从索引lo到索引hi的元素的排序
sort(a,lo,hi);
}
//对数组a中从lo到hi的元素进行排序
private static void sort(Comparable[] a,int lo,int hi){
//做安全性校验
if(hi<=lo){
return;
}
//对lo到hi之间的数据进行分为两个组
int mid = lo+(hi-lo)/2;
System.out.println(mid);
//分别对每一组数据进行排序
sort(a,lo,mid);
sort(a,mid+1,hi);
//再把两个组中的数据进行归并
System.out.println(a);
merge(a,lo,mid,hi);
}
private static void merge(Comparable[] a,int lo,int mid,int hi){
//定义三个指针
int i=lo;
int p1=lo;
int p2=mid+1;
//遍历，移动p1指针和p2指针，比较对应索引处的值，找出小的那个，放到辅助数组的对应索引处
while(p1<=mid && p2<=hi){
if(less(a[p1],a[p2])){
assist[i++] = a[p1++];
}else{
assist[i++]=a[p2++];
}
}
//遍历,如果p1的指针没有走完，那么顺序移动p1，把对应的元素放到辅助数组的对应索引处
while (p1<=mid){
assist[i++]=a[p1++];
}
//遍历,如果p2的指针没有走完，那么顺序移动p1，把对应的元素放到辅助数组的对应索引处
while(p2<=hi){
assist[i++]=a[p2++];
}
//把辅助数组中的元素拷贝到原数组中
for (int index=lo;index<=hi;index++){
a[index]=assist[index];
}
}
}2.2归并排序算法复杂度分析
归并排序是分治思想的最典型的例子，上面的算法中，对a[lo...hi]进行排序，先将它分为a[lo...mid]和a[mid+1...hi] 两部分，分别通过递归调用将他们单独排序，最后将有序的子数组归并为最终的排序结果。该递归的出口在于如果 一个数组不能再被分为两个子数组，那么就会执行merge进行归并，在归并的时候判断元素的大小进行排序。
用树状图来描述归并，如果一个数组有8个元素，那么它将每次除以2找最小的子数组，共拆log8次，值为3，所以树共有3层,那么自顶向下第k层有2^k个子数组，每个数组的长度为2^(3-k)，归并最多需要2^(3-k)次比较。因此每层 的比较次数为 2^k * 2^(3-k)=2^3,那么3层总共为 3*2^3。
假设元素的个数为n，那么使用归并排序拆分的次数为log2(n),所以共log2(n)层，那么使用log2(n)替换上面3*2^3中 的3这个层数，最终得出的归并排序的时间复杂度为：
log2(n)* 2^(log2(n))=log2(n)*n
根据大O推导法则，忽略底数，最终归并排序的时间复杂度为O(nlogn);
?3.快速排序
3.1快速排序原理及实现
快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一 部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序 过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
排序原理：
1.首先设定一个分界值，通过该分界值将数组分成左右两部分；
2.将大于或等于分界值的数据放到到数组右边，小于分界值的数据放到数组的左边。此时左边部分中各元素都小于 或等于分界值，而右边部分中各元素都大于或等于分界值；
3.然后，左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据，又可以取一个分界值，将该部分数据分成左右两 部分，同样在左边放置较小值，右边放置较大值。右侧的数组数据也可以做类似处理。
4.重复上述过程，可以看出，这是一个递归定义。通过递归将左侧部分排好序后，再递归排好右侧部分的顺序。当 左侧和右侧两个部分的数据排完序后，整个数组的排序也就完成了。
源码实现
其中切分原理
切分原理： 把一个数组切分成两个子数组的基本思想：
1.找一个基准值，用两个指针分别指向数组的头部和尾部；
2.先从尾部向头部开始搜索一个比基准值小的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置；
3.再从头部向尾部开始搜索一个比基准值大的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置；
4.交换当前左边指针位置和右边指针位置的元素；
5.重复2,3,4步骤，直到左边指针的值大于右边指针的值停止。
public class Quick {
//比较v元素是否小于于w元素
private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w) < 0;
}
//数组元素交换位置
private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
Comparable temp;
temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
//对数组元素进行排序
public static void sort(Comparable[] a){
int lo = 0;
int hi = a.length-1;
sort(a,lo,hi);
}
//对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行排序
private static void sort(Comparable[] a,int lo,int hi){
//安全性校验
if(hi<=lo){
return;
}
//需要对数组中lo索引到hi索引处的元素进行排序（左子组和右子组）：
int partition = partition(a,lo,hi);//返回的是分组的分界值所在的索引，分界值位置变换后的索引
//让左子组有序
sort(a,lo,partition-1);
//让右子组有序
sort(a,partition+1,hi);
}
//对数组a中，从索引lo到索引hi之间的元素进行分组，并返回分组界限对应的索引
public static int partition(Comparable[] a,int lo,int hi) {
//确定分界值
Comparable key = a[0];
//定义两个指针，分别指向待切分元素的最小索引处和最大索引处的下一个位置
int left = lo;
int right = hi + 1;
while (true) {
//先从右往左扫描，移动right指针，找到一个比分界值小的元素，停止
while (less(key, a[--right])) {
if (right == lo) {
break;
}
}
//再从左往右扫描，移动left指针，找到一个比分界值大的元素，停止
while (less(a[++left], key)) {
if (left == hi) {
break;
}
}
//判断left>=right,如果是，则证明元素扫描完毕，结束循环，如果不是，则交换元素即可
if (left >= right) {
break;
} else {
exch(a, left, right);
}
}
exch(a,lo,right);
return right;
}
}3.2归并排序算法复杂度分析
快速排序时间复杂度分析： 快速排序的一次切分从两头开始交替搜索，直到left和right重合，因此，一次切分算法的时间复杂度为O(n),但整个快速排序的时间复杂度和切分的次数相关。 最优情况：每一次切分选择的基准数字刚好将当前序列等分。
如果我们把数组的切分看做是一个树，那么上图就是它的最优情况的图示，共切分了logn次，所以，最优情况下快速排序的时间复杂度为O(nlogn);
最坏情况：每一次切分选择的基准数字是当前序列中最大数或者最小数，这使得每次切分都会有一个子组，那么总共就得切分n次，所以，最坏情况下，快速排序的时间复杂度为O(n^2);?
平均情况：每一次切分选择的基准数字不是最大值和最小值，也不是中值，这种情况我们也可以用数学归纳法证明，快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。
4.排序的稳定性
?稳定性的定义： 数组arr中有若干元素，其中A元素和B元素相等，并且A元素在B元素前面，如果使用某种排序算法排序后，能够保 证A元素依然在B元素的前面，可以说这个该算法是稳定的。
稳定性的意义： 如果一组数据只需要一次排序，则稳定性一般是没有意义的，如果一组数据需要多次排序，稳定性是有意义的。例 如要排序的内容是一组商品对象，第一次排序按照价格由低到高排序，第二次排序按照销量由高到低排序，如果第二次排序使用稳定性算法，就可以使得相同销量的对象依旧保持着价格高低的顺序展现，只有销量不同的对象才需 要重新排序。这样既可以保持第一次排序的原有意义，而且可以减少系统开销。
常见排序算法的稳定性：
冒泡排序：只有当arr[i]>arr[i+1]的时候，才会交换元素的位置，而相等的时候并不交换位置，所以冒泡排序是一种稳定排序 算法。
选择排序: 选择排序是给每个位置选择当前元素最小的,例如有数据{5(1)，8 ，5(2)， 2， 9 },第一遍选择到的最小元素为2， 所以5(1)会和2进行交换位置，此时5(1)到了5(2)后面，破坏了稳定性，所以选择排序是一种不稳定的排序算法。
插入排序： 比较是从有序序列的末尾开始，也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起，如果比它大则直接插入在其 后面，否则一直往前找直到找到它该插入的位置。如果碰见一个和插入元素相等的，那么把要插入的元素放在相等 元素的后面。所以，相等元素的前后顺序没有改变，从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序，所以插入排序 是稳定的。
希尔排序： 希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序 ,虽然一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在 不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以希尔排序是不 稳定的。
归并排序：?归并排序在归并的过程中，只有arr[i]<arr[i+1]的时候才会交换位置，如果两个元素相等则不会交换位置，所以它 并不会破坏稳定性，归并排序是稳定的。
快速排序： 快速排序需要一个基准值，在基准值的右侧找一个比基准值小的元素，在基准值的左侧找一个比基准值大的元素， 然后交换这两个元素，此时会破坏稳定性，所以快速排序是一种不稳定的算法。