[数据结构与算法]Java学习苦旅（八）——不复杂的复杂度

本篇博客将详细讲解时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度

什么是时间复杂度

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

大O的渐进表示法

在实际过程中，我们计算时间复杂度时，并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，所以我们使用 大O的渐进表示法。

大O符号：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

使用规则

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

对于有些算法的时间复杂度存在三种情况:

1. 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
2. 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
3. 最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）

在实际过程中，一般关注的都是最坏情况。例如数组中查找数据的时间复杂的为O(N)。

示例

示例一

void fun(int N) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
        count++;
    }
    int M = 10;
    while ((M--) > 0) {
        count++;
    }
        System.out.println(count);
}

fun原本的时间复杂度为2*N+10，由大O的渐进表示法可知，fun的时间复杂度为O(N)

示例二

void func(int N, int M) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; k++) {
        count++; 
    }
    for (int k = 0; k < N ; k++) {
        count++; 
    }
    System.out.println(count);
}

由大O的渐进表示法可知，func的时间复杂度为O(M+N)

示例三

void func1(int N) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; k++) {
        count++; 
    }
    System.out.println(count);
}

func1原本的时间复杂度为O(100)，由大O的渐进表示法可知，func1的时间复杂度为O(1)

示例四

void bubbleSort(int[] array) {
    for (int end = array.length; end > 0; end--) {
        boolean sorted = true;
        for (int i = 1; i < end; i++) {
            if (array[i - 1] > array[i]) {
                Swap(array, i - 1, i);
                sorted = false;
            } 
        }
        if (sorted == true) { 
            break; 
        } 
    }
}

由大O的渐进表示法可知，bubbleSort在最好情况下的时间复杂度为O(N)，在最坏情况下的时间复杂度为O(N²)

示例五

int factorial(int N) {
 	return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N; 
}

递归的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归执行的次数

所以factorial的时间复杂度为O(N)

示例六

int fibonacci(int N) {
 	return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

fibonacci原本的时间复杂度为O(2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2^(N-1))，由大O的渐进表示法可知，fibonacci的时间复杂度为O(2^N)

空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用 大O渐进表示法 。

示例

示例一

void bubbleSort(int[] array) {
    for (int end = array.length; end > 0; end--) { 
        boolean sorted = true;
        for (int i = 1; i < end; i++) { 
            if (array[i - 1] > array[i]) { 
                Swap(array, i - 1, i);
                sorted = false; 
            } 
        }
        if (sorted == true) { 
            break; 
        }
    }
}

空间复杂度计算的是额外的空间。例如bubbleSort函数中，array是数组，是必要的空间，而sorted是额外的空间，因此bubbleSort的空间复杂度为O(1)。

示例二

int[] fibonacci(int n) {
    long[] fibArray = new long[n + 1];
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; i++) { 
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    return fibArray; 
}

fibonacci中动态开辟了N个空间，因此空间复杂度为O(N)。

long factorial(int N) {
 	return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N; 
}

factorial中递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间，因此factorial的空间复杂度为O(N)。

结尾

本篇博客到此结束

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