[数据结构与算法]BZOJ 2134 单选错位（数学期望）【BZOJ 修复工程】

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题目描述

gx 和 lc 去参加 noip 初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。

试卷上共有 $n$ 道单选题，第 $i$ 道单选题有 $a_i$ 个选项，这 $a_i$ 个选项编号是 $1,2,3,\dots ,a_i$，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。

lc 采取的策略是每道题目随机写上 $1～a_i$ 的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对 $\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}$ 道题目。

gx 则是认认真真地做完了这 $n$ 道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第 $i$ 道题目的答案抄到了答题纸上的第 $i+1$ 道题目的位置上，特别地，第 $n$ 道题目的答案抄到了第 $1$ 道题目的位置上。

现在 gx 已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被 lc 鄙视了。

我们假设 gx 没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。

输入格式

$n$ 很大，为了避免读入耗时太多，输入文件只有五个整数参数 $n,A,B,C,a_1$，由上交的程序产生数列 $a$。下面给出 pascal/C/C++ 的读入语句和产生序列的语句（默认从标准输入读入）：

// for pascal
readln(n,A,B,C,q[1]);
for i:=2 to n do
q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001;
for i:=1 to n do
q[i] := q[i] mod C + 1;

// for C/C++
scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);
for (int i = 2; i <= n; i++)
	a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001;
for (int i = 1; i <= n; i++)
	a[i] = a[i] % C + 1;

选手可以通过以上的程序语句得到 $n$ 和数列 $a$，$n$ 和 $a$ 的含义见题目描述。

输出格式

输出一个实数，表示 gx 期望做对的题目个数，保留三位小数。

样例输入

3 2 0 4 1

样例输出

1.167

样例说明

a = { 2 , 3 , 1 } a=\{2,3,1\} a={2,3,1}。

共有 $6$ 种情况，每种情况出现的概率是 $\frac{1}{6}$，gx 期望做对 $\frac{3+1+1+1+1+0}{6}=\frac{7}{6}$ 题。（相比之下，lc 随机就能期望做对 $\frac{11}{6}$ 题）

数据规模与约定

对于 $30\%$ 的数据，$n\le 10$，$C\le 10$。

对于 $80\%$ 的数据，$n\le 10^4$，$C\le 10$。

对于 $90\%$ 的数据，$n\le 5\times 10^5$，$C\le 10^8$。

对于 $100\%$ 的数据，$2\le n\le 10^7$，$0\le A,B,C\le 10^8$。

Solution

显然每道题之间是相对独立互不影响的。

那么对于第 $i$ 道题，有 $a[i]$ 种选项，因为填错了题目，共有 $a[i?1]$ 种选项填写到了第 $i$ 题上，显然一共有 $a[i]\times a[i?1]$ 种填写方案，一共有 min ? { a [ i ? 1 ] , a [ i ] } \min\{a[i - 1],a[i]\} min{a[i?1],a[i]} 种填写正确的方案，显然做对的概率为 min ? { a [ i ? 1 ] , a [ i ] } a [ i ] × a [ i ? 1 ] = 1 max ? { a [ i ? 1 ] , a [ i ] } \cfrac{\min\{a[i - 1],a[i]\}}{a[i]\times a[i-1]}=\cfrac{1}{\max\{a[i- 1],a[i]\}} a[i]×a[i?1]min{a[i?1],a[i]}?=max{a[i?1],a[i]}1?。

E = ∑ i = 1 n x i × P i = ∑ i = 1 n 1 × P i = ∑ i = 1 n 1 max ? { a [ i ? 1 ] , a [ i ] } \displaystyle E=\sum_{i=1}^{n} x_i\times P_i=\sum_{i = 1}^{n}1\times P_i=\sum_{i=1}^{n}\cfrac{1}{\max\{a[i- 1],a[i]\}} E=i=1∑n?xi?×Pi?=i=1∑n?1×Pi?=i=1∑n?max{a[i?1],a[i]}1?。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; 
const int maxn = 1e7 + 6;
int n, m, s, t, ans;
int a[maxn];
int A, B, C;

int main()
{
	scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		a[i] = a[i] % C + 1;
	a[0] = a[n];
	double ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		ans += 1.0 / max(a[i - 1], a[i]);
	}
	printf("%.3f", ans);
	return 0;
}