前言
堆的性质：堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；堆总是一棵完全二叉树。
注意区分，二叉树的堆是一种数据结构，而系统层的堆是操作系统中管理内存的一块区域分段，不要弄混淆了。
一、预备小知识
观察上图我们能够得到以下几个结论：
第一个：顺序表作为堆的储存结构的是比较合适的，因为这样子我们用的顺序表就可以不会存在空间的浪费，比如前面出现NULL之类的，所以我们用顺序表作为堆的储存结构，它的逻辑结构是一颗满二叉树，并且作为堆还要满足每个父亲大于孩子或者每个父亲都小于孩子
第二个：每个节点它的左孩子若是存在，左孩子的下标就一定是（父亲的下标*2+1），而每个孩子它的父亲则是（父亲的下标 =（孩子的下标-1）/2），也就是我们这里的结论能够找到当前节点的孩子节点和父亲节点。
二、建堆
1.初始化堆（小堆为例）
假设给定一个数组，我们去初始化堆，这里是有两种方法
给定数组：int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
方法一：倘若我们的堆已经像上图一样，根的左子树和右子树都已经是一个小堆了，我们如何通过算法来使他变成一个小堆
向下调整算法：当一个节点的左右子树都是堆的时候适用
观察我们要调整27的话，我们27的每一次变动都会影响到左右子树，所以我们要保证不影响左右子树的堆性质的同时改变它的储存结构。方法也就是将它的左孩子和右孩子当中挑选小的，和根进行交换，这时对于其中的一边子树，如图中的19一路，当15与27交换的时候，实际上不改变19这个子树的堆的性质，但是对于15的子树我们换了一个更大的数，而我们建的是小堆，所以对于15的这颗子树，我们也要像处理27的逻辑一样，直到出现交换到了根节点或者父节点比左右孩子都小。
//向下调整算法,a为底层结构的数组，n为调整的数组的大小，parent为调整的节点
void AdjustDown(int* a,int n ,int parent)
{
//适合左右都是堆，parent不满足的情况的排序
//每一个parent都有可能要交换到叶子
int child = parent * 2 + 1;
//排序的节点一定会有左孩子
while (child<n)
{
//小堆为例
if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1])
child++;
if (a[child] < a[parent])
Swap(&a[child], &a[parent]);
else//表示父亲比最小孩子的孩子小，满足堆
break;
//走到这里，表示进行了交换，还要继续往下走
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
}
走到这里，我们仅仅只是处理了当左右子树都是小根堆的情况，那如果不满足的时候我们该怎么解决呢，如下图：
这个时候其实我们可以看到从索引为2的地方（即最后一个父节点，索引为最顺序表中最后一个数的下标(n - 1 - 1) / 2）其中n 为数组的大小，它的左子树和右子树都只有一个数，那么也是可以认为是一个左右子树都已经是堆的结构，我们就可以从索引为2倒着更新 2 --> 1 --> 0,当我们走到0的时候，0的左右子树就都是小根堆了，这样子我们就可以用向下调整算法弄出一个小根堆
代码如下：
void HeapSort(int* a, int n)
{
//我们从最后一个父节点开始建堆，从后向前遍历
//这样就能保证都是小堆
//对节点用向下调整就可以了，这里我们建小堆
//这里的 n-1是最后一个数的索引， (n-1-1)/2是他的父亲索引！
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
{
//i表示我们传参的父节点
AdjustDown(a, n, i);
}
}
走到这里第一种初始化堆的方式说完啦！！！
int arr[] ={20,30,60,25,27,55,57};
接着第二种：向下调整算法可以做到初始化堆，向上调整算法其实也是可以的，其实这里与之后讲的根的插入的思想类似,也就是当我们数组只有20的时候我们通过插入30来保证是一个小堆，然后插入60保证是一个小堆（图一：可以发现都不用调整）
我们再继续插入25又会如何呢（下图），可以发现当我们插入时不满足30是一个小堆，所以我们将30 与 25 交换，这样原来的1号索引的树就是一个小堆了，但对于1号索引的父亲，我们将一个比1号索引小的数（25）放到1号位置，我们这个时候其实还是要进行1号位和他的父亲（0号位），倘若0号位比1号位小，则结束，不然就交换，迭代到根，也结束！！ 所以向上调整算法的思想也比较简单，也就是迭代到满足条件即可
向上调整的代码：
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
assert(a);
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
//再进行迭代
child = parent;
//注意parent在这里不可能会是负数
parent = (parent - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
2.证明建堆的复杂度
当我们是用向下调整算法来建堆的话吧
画的有点丑，但是意思就是从最后一个父节点更新节点*它的更新层数
三、堆的插入
堆的插入其实可以先将数据放在顺序表的尾，然后再通过一次向上调整算法就可以实现一次堆的插入，如原数据{1,2，3}后面插入0
代码：
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
//插入一个数在数组的末尾，在用向上调整算法（只影响一条路径）
//注意考虑增容
assert(hp);
if (hp->_capacity == hp->_size)
{
int newcpacity = hp->_capacity * 2;
HPDataType*tmp = realloc(hp->_a, newcpacity * sizeof(HPDataType));
if (tmp == NULL)
{
printf("realloc fail\n");
exit(-1);
}
hp->_a = tmp;
hp->_capacity = newcpacity;
}
//走到这里，空间都是足够的
hp->_a[hp->_size++] = x;
AdjustUp(hp->_a, hp->_size-1);
}
插入数据前需要检测容量，然后放在数组尾，++size，再用向上调整算法即可。
四、堆的删除
堆的删除一般是删除头的数据，因为这样子能够少的破坏左右子树堆的结构。
不然的话删除数据之后又需要重新建堆O（N），这样子的删除效率效率太低了，我们可以将头和尾的数据进行交换，size–之后再对头进行向下调整算法，这时候刚好因为没破坏左右子树是堆所以可以使用
void HeapPop(Heap* hp)
{
//删除一个数据可以让第一个数据和最后一个数据交换
//hp的size--之后就可以对第一个数进行向下调整算法
assert(hp);
assert(!HeapEmpty(hp));
Swap(&hp->_a[--hp->_size], &hp->_a[0]);
AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);
}
五、TopK问题
现在我们需要从（N）10亿个整数当中挑选最大的（K）10个，怎么做？
首先解释一下为什么挑选最大的10个数要建小堆，如果建大堆，最大的数可能挡在头的位置，其他9个次大的数就进不来。所以建小堆就可以将最大的数更新进堆中！
1.首先这里有4g的字节，如果需要排序的话放到内存当中排可能会因为内存不够排放不了，加入能排那我们的时间复杂度也是O（NlogN），
2.其次我们可以考虑建堆，如果正常思路建堆：即建一个10亿个数的小堆，实际内存也存不下，假设存的下的话，建堆的时间复杂度是O(N)，K个数选出来是O（KlogN），总共时间复杂度O(N+KlogN)–>10亿加300，效率比起排序还是会好一些的。那么还有没有更好的方法呢?
3. 还是建堆，我们建一个10个数的小堆，将（10亿-10）个数依次放入堆中，建堆的时间复杂度O(K)，找到K个数的时间复杂度（NlogK），时间复杂度就是O(K+NlogK)–>10+40亿，但是空间只开了O（K）个，当K小的时候，是十分优秀的了！
结论：乍一看，第二种的时间复杂度可能还会好一些，实际上和第三种都是在一个量级的，实际上当我们N为100亿的时候都已经不可能建堆了，因为它的空间复杂度为O(N)，而我们的第三种方法的空间复杂度为O(K)，所以在时间复杂度差不多的情况下，对于空间消耗的topK的解法实际上更受到我们欢迎！
void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
//假设从N个数当中挑选最大的K个
//拿前k个数初始化，当我们要挑选最大的前K个数的时候
//我们选择建小堆，这样才不会被最大的数挡在a[0]这个位置
//先对开始的数组进行建堆
for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, k, i);
}
for (int i = k; i < n; ++i)
{
//遍历下标【k ，n-1】的数，依次在我们的堆里面比较
//当有一个数比我们的堆顶大的时候我们就覆盖就可以
if (a[0] < a[i])
{
a[0] = a[i];
AdjustDown(a, k, 0);
}
}
}
void TestTopk()
{
int* a=(int*)malloc(sizeof(int)*100000);
srand(0);
//创建100000（N）随机数并且都小于10000
for (int i = 0; i < 100000; i++)
{
a[i] = rand()%10000;
}
//创建随机十个位置（K）大于10000，观察程序能否找到
a[1024] = 10001;
a[10240] = 10002;
a[10204] = 10003;
a[10024] = 10005;
a[10125] = 100000;
a[10224] = 10004;
a[10234] = 1000100;
a[10214] = 10006;
a[15044] = 10009000;
a[15045] = 10009001;
PrintTopK(a, 100000, 10);
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
printf("%d ", a[i]);
}
printf("\n");
}
实际上在我们后面学习c++的时候接触到仿函数的时候，我们可以通过传参的方式来确认我们建的是大堆还是小堆，priority_queue的底层就是一个堆，当然他可以用我们这里的顺序表vector,也可用deque双端队列来实现。
全部代码
总结
堆的就到此结束啦，之后在C++的优先级队列当中会用到这里的知识，到时候的实现实际上也是差不多的，有帮助的一键三连吧！！！