题目描述
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1：
输入：n = 3
输出：5
示例 2：
输入：n = 1
输出：1
提示：
1 <= n <= 19
题目解析
此类题目是求极致的递推关系，可以使用动态规划。由上一步的结果推出这一步的结果，将左子树和右子树看成一个整体，例如我们要求的n=3的，设n的二叉树总数为S(n),设以i为根节点的数量为f(i),
i
∈
{
1
，
n
}
i\in\{1，n\}
i∈{1，n},
S
(
n
)
=
∑
i
=
1
n
f
(
i
)
S(n) = \sum_{i=1}^{n}f(i)
S(n)=i=1∑n?f(i)，S(n)的数等于以1…n分别为头节点的树的数量相加。
f
(
i
)
=
S
(
i
?
1
)
?
S
(
n
?
i
)
f(i) = S(i - 1)*S(n - i)
f(i)=S(i?1)?S(n?i),以i为头节点，左子树全都小于i，数量为i - 1，所以左子树为S(i - 1),右子树全都大于i，数量为n - i，所以右子树为S(n - i)，注意S(x)中这个x仅代表节点个数。
图解
n = 3,
代码实现
public static int numTrees(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1;
dp[0] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
性能分析
两次for循环，执行次数为 n ( n ? 1 ) / 2 n(n - 1)/2 n(n?1)/2,时间复杂度为O(n^2)，没有用到额外的空间，所以空间复杂度为O(1)。
有不足之处多多指教
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