1. 常数项级数的概念
1.1. 常数项级数
一般地，如果给定一个数列
u
1
,
u
2
,
u
3
,
.
.
.
,
u
n
,
.
.
.
,
u_1,u_2,u_3,...,u_n,...,
u1?,u2?,u3?,...,un?,...,那么由这个数列构成的表达式
u
1
+
u
2
+
u
3
+
.
.
.
+
u
n
+
.
.
.
u_1+u_2+u_3+...+u_n+...
u1?+u2?+u3?+...+un?+...叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，即
∑
i
=
1
∞
u
i
=
u
1
+
+
u
2
+
u
3
+
.
.
.
+
u
i
+
.
.
.
\sum_{i=1} ^{\infin}u_i=u_1++u_2+u_3+...+u_i+...
i=1∑∞?ui?=u1?++u2?+u3?+...+ui?+...，其中第
n
n
n项
u
n
u_n
un?叫做级数的一般项。
1.2. 部分和
级数的前
n
n
n项和
s
n
=
u
1
+
u
2
+
.
.
.
+
u
n
=
∑
i
=
1
n
u
i
s_n=u_1+u_2+...+u_n=\sum_{i=1}^{n}u_i
sn?=u1?+u2?+...+un?=i=1∑n?ui?称为级数的部分和。
1.3. 无穷级数的收敛和发散
如果级数
∑
i
=
1
∞
u
i
\sum_{i=1}^{\infin}u_i
∑i=1∞?ui?的部分和数列
{
s
n
}
\{s_n\}
{sn?}有极限
s
s
s，即：
lim
?
n
→
∞
s
n
=
s
,
\lim_{n\rightarrow\infin}s_n=s,
n→∞lim?sn?=s,那么称无穷级数
∑
i
=
1
∞
u
i
\sum_{i=1}^{\infin}u_i
∑i=1∞?ui?收敛，这时极限
s
s
s叫做这级数的和，并写成
s
=
u
1
+
u
2
+
.
.
.
+
u
i
+
.
.
.
;
s=u_1+u_2+...+u_i+...;
s=u1?+u2?+...+ui?+...;如果
{
s
n
}
\{s_n\}
{sn?}没有极限，那么称无穷级数
∑
i
=
1
∞
u
i
\sum_{i=1}^{\infin}u_i
∑i=1∞?ui?发散。
1.4. 余项与误差
当级数收敛时，
r
n
=
s
?
s
n
=
u
n
+
1
+
u
n
+
2
+
.
.
.
r_n=s-s_n=u_{n+1}+u_{n+2}+...
rn?=s?sn?=un+1?+un+2?+...叫做级数的余项。用近似值
s
n
s_n
sn?代替
s
s
s所产生的误差就是这个余项的绝对值，即误差是
∣
r
n
∣
|r_n|
∣rn?∣。
2. 级数与部分和数列的关系
2.1. 给定级数
给定级数，即给定
∑
i
=
1
∞
u
i
\sum_{i=1}^{\infin}u_i
∑i=1∞?ui?，部分和数列为
{
s
n
=
∑
i
=
1
n
u
i
}
。
\{s_n=\sum_{i=1}^{n}u_i\}。
{sn?=i=1∑n?ui?}。
2.2. 给定部分和数列
给定部分和数列
{
s
n
}
\{s_n\}
{sn?}，就有以
{
s
n
}
\{s_n\}
{sn?}为部分和数列的级数
u
1
+
u
2
+
.
.
.
+
u
i
+
.
.
.
=
s
1
+
(
s
2
?
s
1
)
+
.
.
.
+
(
s
i
?
s
i
?
1
)
+
.
.
.
=
s
1
+
∑
i
=
2
∞
(
s
i
?
s
i
?
1
)
=
∑
i
=
1
∞
u
i
\begin{aligned} u_1+u_2+...+u_i+...&=s_1+(s_2-s_1)+...+(s_i-s_{i-1})+...\\ &=s_1+\sum_{i=2}^{\infin}(s_i-s_{i-1})\\ &=\sum_{i=1}^{\infin}u_i \end{aligned}
u1?+u2?+...+ui?+...?=s1?+(s2??s1?)+...+(si??si?1?)+...=s1?+i=2∑∞?(si??si?1?)=i=1∑∞?ui??其中
u
1
=
s
1
,
u
n
=
s
n
?
s
n
?
1
(
n
≥
2
)
u_1=s_1,u_n=s_n-s_{n-1}(n \ge 2)
u1?=s1?,un?=sn??sn?1?(n≥2)。按定义，级数与部分和数列具有相同的收敛性，而且在收敛时有
∑
i
=
1
∞
u
i
=
lim
?
n
→
∞
s
n
=
lim
?
n
→
∞
∑
i
=
1
n
u
i
。
\sum_{i=1}^{\infin}u_i=\lim_{n\rightarrow\infin}s_n=\lim_{n\rightarrow\infin}\sum_{i=1}^{n}u_i。
i=1∑∞?ui?=n→∞lim?sn?=n→∞lim?i=1∑n?ui?。
3. 几何级数
3.1 定义
∑
i
=
0
∞
a
q
i
=
a
+
a
q
+
a
q
2
+
.
.
.
+
a
q
i
+
.
.
.
\sum_{i=0}^{\infin}aq^i=a+aq+aq^2+...+aq^i+...
i=0∑∞?aqi=a+aq+aq2+...+aqi+...其中
a
≠
0
,
q
a \ne 0,q
a?=0,q叫做级数的公比。
3.2. 收敛性
s
n
=
a
+
a
q
+
.
.
.
+
a
q
n
?
1
=
a
?
a
q
n
1
?
q
\begin{aligned} s_n&=a+aq+...+aq^{n-1}\\ &=\frac{a-aq^n}{1-q} \end{aligned}
sn??=a+aq+...+aqn?1=1?qa?aqn??
- 当
∣
q
∣
<
1
|q|<1
∣q∣<1时，由于
lim
?
n
→
∞
q
n
=
0
,
\lim_{n\rightarrow\infin}q^n=0,
n→∞lim?qn=0,从而
lim
?
n
→
∞
s
n
=
a
1
?
q
,
\lim_{n\rightarrow\infin}s_n=\frac{a}{1-q},
n→∞lim?sn?=1?qa?,因此这时的级数收敛，其和为
a
1
?
q
\dfrac{a}{1-q}
1?qa?。
- 当
∣
q
∣
>
1
时
|q|>1时
∣q∣>1时，由于
lim
?
n
→
∞
q
n
=
∞
,
\lim_{n\rightarrow\infin}q^n=\infin,
n→∞lim?qn=∞,从而
lim
?
n
→
∞
s
n
=
∞
,
\lim_{n\rightarrow\infin}s_n=\infin,
n→∞lim?sn?=∞,因此这时的级数发散。
- 如果
∣
q
∣
=
1
|q|=1
∣q∣=1，当
q
=
1
q=1
q=1时，
s
n
=
n
a
→
∞
s_n=na\rightarrow\infin
sn?=na→∞，因此级数发散；当
q
=
?
1
q=-1
q=?1时，
s
n
=
(
?
1
)
n
a
s_n=(-1)^na
sn?=(?1)na，从而
s
n
s_n
sn?的极限不存在，这时的级数也发散。
- 综上所述，如果几何级数的公比的绝对值
∣
q
∣
<
1
|q| <1
∣q∣<1，那么级数收敛；如果
∣
q
∣
≥
1
|q| \ge 1
∣q∣≥1那么级数发散。
4. 收敛级数的基本性质
4.1. 每一项数乘非零常数
如果级数
∑
n
=
1
∞
u
n
\sum_{n=1}^{\infin}u_n
n=1∑∞?un?收敛于和
s
s
s，那么级数
∑
n
=
1
∞
k
u
n
\sum_{n=1}^{\infin}ku_n
n=1∑∞?kun?也收敛，且其和为
k
s
ks
ks。
即
∑
n
=
1
∞
k
u
n
=
k
∑
n
=
1
∞
u
n
\sum_{n=1}^{\infin}ku_n=k\sum_{n=1}^{\infin}u_n
n=1∑∞?kun?=kn=1∑∞?un?
4.2. 级数的加法
如果级数
∑
n
=
1
∞
u
n
与
∑
n
=
1
∞
v
n
\sum_{n=1}^{\infin}u_n与\sum_{n=1}^{\infin}v_n
n=1∑∞?un?与n=1∑∞?vn?分别收敛于和
s
与
σ
s与\sigma
s与σ，那么级数
∑
n
=
1
∞
(
u
n
±
v
n
)
\sum_{n=1}^{\infin}(u_n\pm v_n)
n=1∑∞?(un?±vn?)也收敛，且其和为
s
±
σ
s\pm \sigma
s±σ。
即
∑
n
=
1
∞
(
u
n
±
v
n
)
=
∑
n
=
1
∞
u
n
±
∑
n
=
1
∞
v
n
\sum_{n=1}^{\infin}(u_n\pm v_n)=\sum_{n=1}^{\infin}u_n \pm \sum_{n=1}^{\infin}v_n
n=1∑∞?(un?±vn?)=n=1∑∞?un?±n=1∑∞?vn?
4.3. 在级数中去掉、加上或改变有限项
- 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
- 级数本质也是一个极限，是一个趋势，与有限项无关。
4.4. 对级数的项任意加括号
- 如果级数
∑
n
=
1
∞
u
n
\sum_{n=1}^{\infin}u_n
n=1∑∞?un?收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数
(
u
1
+
.
.
.
+
u
n
1
)
+
(
u
n
1
+
1
+
.
.
.
+
u
n
2
)
+
.
.
.
+
(
u
n
k
+
1
+
.
.
.
+
u
n
k
)
+
.
.
.
(u_1+...+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+...+u_{n_2})+...+(u_{n_k+1}+...+u_{n_k})+...
(u1?+...+un1??)+(un1?+1?+...+un2??)+...+(unk?+1?+...+unk??)+...仍收敛，且其和不变。
- 新级数的部分和数列是原级数部分和数列的子列。
- 如果加括号后所成的级数发散，那么原来的级数也发散。
4.5. 级数收敛与一般项
如果级数
∑
n
=
1
∞
u
n
\sum_{n=1}^{\infin}u_n
n=1∑∞?un?收敛于和
s
s
s，那么它的一般项
u
n
u_n
un?趋于零，即
lim
?
n
→
∞
u
n
=
0.
\lim_{n\rightarrow\infin}u_n=0.
n→∞lim?un?=0.
如果级数的一般项不趋于零，那么该级数必定发散。
5. 调和级数
5.1. 定义
∑
n
=
1
∞
1
n
=
1
+
1
2
+
1
3
+
.
.
.
+
1
n
+
.
.
.
\sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...
n=1∑∞?n1?=1+21?+31?+...+n1?+...
5.2. 收敛性
虽然它的一般项
u
n
=
1
n
→
0
(
n
→
∞
)
u_n=\dfrac{1}{n}\rightarrow0(n\rightarrow\infin)
un?=n1?→0(n→∞)，但它是发散的。
- 从部分和数列的角度来看，调和级数的部分和数列单调递增没有上界，因而是发散的。
- 用反证法，假设调和级数收敛，有
s
2
n
?
s
n
→
s
?
s
=
0
(
n
→
∞
)
s_{2n}-s_n\rightarrow s-s=0(n\rightarrow\infin)
s2n??sn?→s?s=0(n→∞)，但另一方面
s
2
n
?
s
n
=
1
n
+
1
+
1
n
+
2
+
.
.
.
+
1
2
n
>
1
2
n
+
1
2
n
+
.
.
.
+
1
2
n
=
1
2
s_{2n}-s_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}>\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+...+\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}
s2n??sn?=n+11?+n+21?+...+2n1?>2n1?+2n1?+...+2n1?=21?，故
s
2
n
?
s
n
?
0
(
n
→
∞
)
s_{2n}-s_n\nrightarrow0(n\rightarrow\infin)
s2n??sn??0(n→∞)与假设矛盾，说明级数必定发散。
|