一、题目
斐波那契数,通常用 F(n) 表示,形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是: F(0) = 0 F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2),其中 n > 1 给你 n ,请计算 F(n) 。提示:0 <= n <= 30
示例 1: 输入:2 输出:1 解释:F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2: 输入:3 输出:2 解释:F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3: 输入:4 输出:3 解释:F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
二、思路及图解(动态规划方式实现)
1、思路
- 斐波那契数的边界条件是 F(0)=0 和 F(1)=1。当 n>1 时,每一项的和都等于前两项的和,因此有如下递推关系:
- F(n)=F(n?1)+F(n?2)
- 由于斐波那契数存在递推关系,因此可以使用动态规划求解。
2、图解
- 初始化p=0,q=0,r=1;第一次遍历,当i=2时,把q的值0赋值给p,再把r的值1赋值给q,最后把p的值和q的值相加赋值给r,如下图:
- 在第一次遍历的结果上,第2次遍历,当i=3时,把q的值1赋值给p,再把r的值1赋值给q,最后把p的值和q的值相加赋值给r,如下图:
- 在第二次遍历的结果上,第3次遍历,当i=4时,把q的值1赋值给p,再把r的值2赋值给q,最后把p的值和q的值相加赋值给r,如下图:
- 在第三次遍历的结果上,第4次遍历,当i=5时,把q的值2赋值给p,再把r的值3赋值给q,最后把p的值和q的值相加赋值给r,并返回r的值,如下图:
三、题目代码解析(动态规划方式实现)
1、代码
public class Test {
public static void main(String[] args) {
int a=fibs(5);
System.out.println("斐波那契数为【"+a+"】");
}
public static int fib(int n){
if (n < 2) {
return n;
}
int p = 0, q = 0, r = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
p = q;
q = r;
r = p + q;
}
return r;
}
}
2、结果如下图:
3、复杂度分析
四、思路(通项公式实现)
五、题目代码解析(通项公式实现)
1、通过公式直接求解第 n 项,代码如下:
public class Test {
public static void main(String[] args) {
int a=fibs(5);
System.out.println("斐波那契数为【"+a+"】");
}
public static int fibs(int n) {
double sqrt5 = Math.sqrt(5);
double fibN = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n);
return (int) Math.round(fibN / sqrt5);
}
}
2、结果如下图:
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