[数据结构与算法]华为机试HJ82：将真分数分解为埃及分数

作者：翟天保Steven
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题目描述：

分子为1的分数称为埃及分数。现输入一个真分数(分子比分母小的分数，叫做真分数)，请将该分数分解为埃及分数。如：8/11?=?1/2+1/5+1/55+1/110。

注：真分数指分子小于分母的分数，分子和分母有可能gcd不为1！

如有多个解，请输出任意一个。

请注意本题含有多组样例输入！

输入描述：

输入一个真分数，String型

输出描述：

输出分解后的string

示例：

输入：

8/11
2/4

输出：

1/2+1/5+1/55+1/110
1/3+1/6

说明：

第二个样例直接输出1/2也是可以的

解题思路：

本题有两个方法：1）取巧；2）贪心算法。

1）直接输出n个1/X即可，比如8/11就输出1/11+1/11+。。。+1/11，emm取巧。

2）贪心算法即在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解 。令真分数8/11进行拆分，先找到比其小的最大埃及分数，也就是1/2，那么8/11-1/2等于5/22，则找其最大埃及分数，即1/5，以此类推直到找完所有的埃及分数。其算法实现如下：

1. 假设真分数为a/b，那么b除以a可以得到c，余数为d。即；
2. 两侧同除a，可以得到;
3. 因为d是a的余数，所以d<a，那么;
4. 两边取倒数，即，1/(c+1)就是我们要找的最大埃及分数；
5. 令e=c+1，则有；
6. 即表示减去一个最大埃及分数后，新的a=a*e-b，新的b等于b*e;
7. 当a等于1时说明分解到头了，此时的b就是最后一个埃及分数的分母。

测试代码：

1）取巧方法。

#include<iostream>
#include<string>

using namespace std;

int main() {
    string s;
    while (cin >> s) 
    {
        string ans;
        int n;
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) 
        {
            if (s[i] == '/') 
            {
                n = stoi(s.substr(0, i));
                s = "1/" + s.substr(i + 1) + "+";
                break;
            }
        }
        while (n--) {
            ans += s;
        }
        cout << ans.substr(0,ans.size()-1) << endl;
    }
    return 0;
}

2）贪心算法。?

#include<iostream>
#include<string>

using namespace std;

int main() {
    string s;
    while (cin >> s) {
        string ans;
        int a,b;
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) 
        {
            if (s[i] == '/') {
                a = stoi(s.substr(0, i));
                b = stoi(s.substr(i + 1));
                break;
            }
        }
        while(1)
        {
            int e=b/a+1;
            ans+="1/";
            ans+=to_string(e);
            a=a*e-b;
            b=b*e;
            ans+="+";
            if(a==1)
            {
                ans+="1/";
                ans+=to_string(b);
                break;
            }
            else if(a>1&&b%a==0)
            {
                ans+="1/";
                ans+=to_string(b/a);
                break;
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
        
    }
    return 0;
}

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