问题描述
求任意两个正整数的最大公约数（GCD）。
问题分析
如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。
根据约数的定义可知，某个数的所有约数必不大于这个数本身，几个自然数的最大公约数必不大于其中任何一个数。要求任意两个正整数的最大公约数即求出一个不大于其中两者中的任何一个，但又能同时整除两个整数的最大自然数。
算法设计
思路有两种：
第一种思路是枚举，但是枚举又可以分为两种方法第一种，采用穷举法按从小到大（初值为1，最大值为两个整数当中较小的数）的顺序将所有满足条件的公约数列出，输出其中最大的一个；第二种，按照从大（两个整数中较小的数）到小（到最小的整数1）的顺序求出第一个能同时整除两个整数的自然数，即为所求。
下面对第二种枚举的方法进行详细说明。两个数的最大公约数有可能是其中的小数，所以在按从大到小顺序找寻最大公约数时，循环变量i的初值从小数n开始依次递减，去寻找第一个能同时整除两整数的自然数，并将其输出。需要注意的是，虽然判定条件是i>0，但在找到第一个满足条件的i值后，循环没必要继续下去，如，25和15，最大公约数是5，对于后面的4、3、2、1没必要再去执行，但此时判定条件仍然成立，要结束循环只能借助break语句。
#include <stdio.h>
int main(){
int a, b;
scanf("%d %d", &a, &b);
int i;
int gcd;
gcd = 1;
for(i = (a<b?a: b); i > 0; i--){
if(a % i == 0 && b % i == 0){
gcd = i;
break;
}
}
printf("gcd = %d\n", gcd);
return 0;
}
第二种思路就是辗转相除法，这种方法比较简单快捷，主要思路有三个步骤：
1.如果b == 0，计算结束，a为最大公约数
2.否则，计算a除以b的余数，让a等于b，而b等于那个余数
3.返回第1步
#include <stdio.h>
int main(int argc, const char * argv[]) {
int a;
int b;
int temp;
scanf("%d %d", &a, &b);
while (b != 0) {
temp = a % b;
a = b;
b = temp;
}
printf("gcd = %d\n", a);
return 0;
}
使用辗转相除法的时候我们可以发现，每一次都是计算a除以b的余数，让a等于b，而b等于那个余数，直到b == 0，所以这时候我们就可以想到递归，递归的内容是计算a除以b的余数，让a等于b，让b等于a%b，出口为b == 0
#include <stdio.h>
int gcd(int a, int b){
if(b == 0) return a;
return gcd(b, a%b);
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
int a , b;
scanf("%d %d",&a ,&b);
printf("gcd = %d\n", gcd(a, b));
return 0;
}
以上两种方法就是我们常见的求最大公约数的方法，思路一的代码中仍有几处可以优化的地方，欢迎大家交流讨论。
有不正确的地方，还请大家不吝赐教，感谢！
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