【专题】拉格朗日中值定理求极限
前言
最好自己先做一遍例题再去看答案，每道题都不止一种解法，也可以尝试其他思路。
7个题，不难，很快就能做完。ο(=?ω＜=)ρ⌒☆
如果有错误的地方还请指出，我在Typora写好的markdown到csdn上格式就变了，不太好看。
定义
如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)?满足：
- 在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上连续；
- 在开区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)上可导。
那么在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)内至少有一点
ξ
(
a
<
ξ
<
b
)
\xi(a<\xi <b)
ξ(a<ξ<b)，使等式
f
(
b
)
?
f
(
a
)
=
f
′
(
ξ
)
(
b
?
a
)
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)
f(b)?f(a)=f′(ξ)(b?a)?成立。
解题步骤
- 找函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)。
- 用拉格朗日中值定理
F
(
b
)
?
F
(
a
)
=
F
′
(
ξ
)
(
b
?
a
)
F(b)-F(a)=F'(\xi )(b-a)
F(b)?F(a)=F′(ξ)(b?a).
- 找
ξ
\xi
ξ的区间。
- 用夹逼定理求
ξ
\xi
ξ?的值。
- 求解答案。
例题
例题1
a
>
0
,
lim
?
x
→
∞
x
2
(
a
1
x
?
a
1
x
+
1
)
=
a>0,\lim_{x\rightarrow \infty}x^2(a^{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}})=
a>0,x→∞lim?x2(ax1??ax+11?)=
例题2
lim
?
n
→
∞
n
(
a
r
c
t
a
n
π
n
?
a
r
c
t
a
n
π
2
n
)
=
\lim_{n\rightarrow \infty}n(arctan\frac{\pi}{n}-arctan\frac{\pi}{2n})=
n→∞lim?n(arctannπ??arctan2nπ?)=
例题3
lim
?
x
→
0
1
+
t
a
n
x
?
1
+
s
i
n
x
x
l
n
(
1
+
x
)
?
x
2
=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{xln(1+x)-x^2}=
x→0lim?xln(1+x)?x21+tanx
??1+sinx
??=
例题4
lim
?
x
→
0
l
n
(
c
o
s
x
)
x
2
=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(cosx)}{x^2}=
x→0lim?x2ln(cosx)?=
例题5
a
≠
k
π
,
lim
?
x
→
a
(
s
i
n
x
s
i
n
a
)
1
x
?
a
=
a\ne k\pi,\lim_{x\rightarrow a}{(\frac{sinx}{sina})}^{\frac{1}{x-a}}=
a?=kπ,x→alim?(sinasinx?)x?a1?=
例题6
lim
?
n
→
∞
(
n
?
t
a
n
1
n
)
n
2
=
\lim_{n\rightarrow \infty}(n\cdot tan\frac{1}{n})^{n^2}=
n→∞lim?(n?tann1?)n2=
例题7
lim
?
x
→
0
(
l
n
(
1
+
x
)
x
)
1
e
x
?
1
=
\lim_{x\rightarrow 0} (\frac{ln(1+x)}{x})^{\frac{1}{e^x-1}}=
x→0lim?(xln(1+x)?)ex?11?=
答案
例题1
-
定义
F
(
x
)
=
a
x
,
F
′
(
x
)
=
l
n
a
?
a
x
F(x)=a^x,F'(x)=lna\cdot a^x
F(x)=ax,F′(x)=lna?ax。 -
根据拉格朗日中值定理，式子
F
(
1
x
)
?
F
(
1
x
+
1
)
=
a
1
x
?
a
1
x
+
1
F(\frac{1}{x})-F(\frac{1}{x+1})=a^{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}}
F(x1?)?F(x+11?)=ax1??ax+11??可以转换成
F
(
1
x
)
?
F
(
1
x
+
1
)
=
F
′
(
ξ
)
(
1
x
?
1
x
+
1
)
F(\frac{1}{x})-F(\frac{1}{x+1})=F'(\xi)(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})
F(x1?)?F(x+11?)=F′(ξ)(x1??x+11?)?。 -
其中
ξ
\xi
ξ的范围为
1
x
+
1
<
ξ
<
1
x
\frac{1}{x+1}<\xi<\frac{1}{x}
x+11?<ξ<x1?。 -
因为
lim
?
x
→
∞
1
x
+
1
→
0
\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x+1} \rightarrow 0
limx→∞?x+11?→0且
lim
?
x
→
∞
1
x
→
0
\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} \rightarrow 0
limx→∞?x1?→0，根据夹逼定理可得
ξ
→
0
\xi \rightarrow 0
ξ→0。 -
将上面得到的式子代入：
lim
?
x
→
∞
x
2
(
a
1
x
?
a
1
x
+
1
)
=
lim
?
x
→
∞
x
2
(
F
′
(
ξ
)
(
1
x
?
1
x
+
1
)
)
=
lim
?
x
→
∞
x
2
(
l
n
a
?
1
x
(
x
+
1
)
)
=
l
n
a
?
lim
?
x
→
∞
x
x
+
1
=
l
n
a
\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow \infty}x^2(a^{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}}) &=& \lim_{x\rightarrow \infty}x^2(F'(\xi)(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})) \\ &=& \lim_{x\rightarrow \infty}x^2(lna\cdot \frac{1}{x(x+1)}) \\ &=& lna\cdot \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{x+1} \\ &=& lna \end{array}
limx→∞?x2(ax1??ax+11?)?====?limx→∞?x2(F′(ξ)(x1??x+11?))limx→∞?x2(lna?x(x+1)1?)lna?limx→∞?x+1x?lna?
例题2
- 定义
F
(
x
)
=
a
r
c
t
a
n
x
,
F
′
(
x
)
=
1
1
+
x
2
F(x)=arctanx,F'(x)=\frac{1}{1+x^2}
F(x)=arctanx,F′(x)=1+x21?。
- 根据拉格朗日中值定理，式子
F
(
π
n
)
?
F
(
π
2
n
)
=
a
r
c
t
a
n
π
n
?
a
r
c
t
a
n
π
2
n
F(\frac{\pi}{n})-F(\frac{\pi}{2n})=arctan\frac{\pi}{n}-arctan\frac{\pi}{2n}
F(nπ?)?F(2nπ?)=arctannπ??arctan2nπ??可以转换成
F
(
π
n
)
?
F
(
π
2
n
)
=
F
′
(
ξ
)
(
π
n
?
π
2
n
)
F(\frac{\pi}{n})-F(\frac{\pi}{2n})=F'(\xi)(\frac{\pi}{n}-\frac{\pi}{2n})
F(nπ?)?F(2nπ?)=F′(ξ)(nπ??2nπ?)?。
- 其中
ξ
\xi
ξ?的范围为
π
2
n
<
ξ
<
π
n
\frac{\pi}{2n}<\xi<\frac{\pi}{n}
2nπ?<ξ<nπ??。
- 因为
lim
?
n
→
∞
π
2
n
→
0
\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\pi}{2n} \rightarrow 0
limn→∞?2nπ?→0??且
lim
?
n
→
∞
π
n
→
0
\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\pi}{n} \rightarrow 0
limn→∞?nπ?→0??，根据夹逼定理可得
ξ
→
0
\xi \rightarrow 0
ξ→0??。
- 将上面得到的式子代入：
lim
?
n
→
∞
n
(
a
r
c
t
a
n
π
n
?
a
r
c
t
a
n
π
2
n
)
=
lim
?
n
→
∞
n
[
1
1
+
ξ
2
(
π
n
?
π
2
n
)
]
=
π
lim
?
n
→
∞
n
(
1
n
?
1
2
n
)
=
π
2
\begin{array}{l} \lim_{n\rightarrow \infty}n(arctan\frac{\pi}{n}-arctan\frac{\pi}{2n}) &=& \lim_{n\rightarrow \infty}n[\frac{1}{1+\xi ^2}(\frac{\pi}{n}-\frac{\pi}{2n})] \\ &=& \pi \lim_{n\rightarrow \infty}n(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}) \\ &=& \frac{\pi}{2} \end{array}
limn→∞?n(arctannπ??arctan2nπ?)?===?limn→∞?n[1+ξ21?(nπ??2nπ?)]πlimn→∞?n(n1??2n1?)2π??
例题3
- 定义
F
(
x
)
=
x
,
F
′
(
x
)
=
1
2
x
F(x)=\sqrt{x},F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
F(x)=x
?,F′(x)=2x
?1?。
- 根据拉格朗日中值定理，式子
F
(
1
+
t
a
n
x
)
?
F
(
1
+
s
i
n
x
)
=
1
+
t
a
n
x
?
1
+
s
i
n
x
F(1+tanx)-F(1+sinx)=\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}
F(1+tanx)?F(1+sinx)=1+tanx
??1+sinx
?可以转换成
F
(
1
+
t
a
n
x
)
?
F
(
1
+
s
i
n
x
)
=
F
′
(
ξ
)
[
(
1
+
t
a
n
x
)
?
(
1
+
s
i
n
x
)
]
F(1+tanx)-F(1+sinx)=F'(\xi)[(1+tanx)-(1+sinx)]
F(1+tanx)?F(1+sinx)=F′(ξ)[(1+tanx)?(1+sinx)]。
- 其中
ξ
\xi
ξ?的范围为
m
i
n
{
1
+
t
a
n
x
,
1
+
s
i
n
x
}
<
ξ
<
m
a
x
{
1
+
t
a
n
x
,
1
+
s
i
n
x
}
min\{1+tanx,1+sinx\}<\xi<max\{1+tanx,1+sinx\}
min{1+tanx,1+sinx}<ξ<max{1+tanx,1+sinx}??。
- 因为
lim
?
x
→
0
1
+
t
a
n
x
→
1
\lim_{x\rightarrow 0} 1+tanx \rightarrow 1
limx→0?1+tanx→1???且
lim
?
x
→
0
1
+
s
i
n
x
→
1
\lim_{x\rightarrow 0} 1+sinx \rightarrow 1
limx→0?1+sinx→1???，根据夹逼定理可得
ξ
→
1
\xi \rightarrow 1
ξ→1????。
- 将上面得到的式子代入：
lim
?
x
→
0
1
+
t
a
n
x
?
1
+
s
i
n
x
x
l
n
(
1
+
x
)
?
x
2
=
lim
?
x
→
0
1
2
ξ
[
(
1
+
t
a
n
x
)
?
(
1
+
s
i
n
x
)
]
x
l
n
(
1
+
x
)
?
x
2
=
1
2
lim
?
x
→
0
(
1
+
t
a
n
x
)
?
(
1
+
s
i
n
x
)
x
l
n
(
1
+
x
)
?
x
2
=
1
2
lim
?
x
→
0
t
a
n
x
?
s
i
n
x
x
l
n
(
1
+
x
)
?
x
2
=
1
2
lim
?
x
→
0
s
i
n
x
(
1
?
c
o
s
x
)
c
o
s
x
x
(
l
n
(
1
+
x
)
?
x
)
=
1
2
lim
?
x
→
0
s
i
n
x
(
1
?
c
o
s
x
)
x
(
l
n
(
1
+
x
)
?
x
)
=
1
2
lim
?
x
→
0
1
?
c
o
s
x
l
n
(
1
+
x
)
?
x
=
1
2
lim
?
x
→
0
1
2
x
2
?
1
2
x
2
=
?
1
2
\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{xln(1+x)-x^2} &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{\xi}}[(1+tanx)-(1+sinx)]}{xln(1+x)-x^2} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+tanx)-(1+sinx)}{xln(1+x)-x^2} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx-sinx}{xln(1+x)-x^2} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sinx(1-cosx)}{cosx}}{x(ln(1+x)-x)} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx(1-cosx)}{x(ln(1+x)-x)} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{ln(1+x)-x} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{-\frac{1}{2}x^2} \\ &=& -\frac{1}{2} \end{array}
limx→0?xln(1+x)?x21+tanx
??1+sinx
???========?limx→0?xln(1+x)?x22ξ
?1?[(1+tanx)?(1+sinx)]?21?limx→0?xln(1+x)?x2(1+tanx)?(1+sinx)?21?limx→0?xln(1+x)?x2tanx?sinx?21?limx→0?x(ln(1+x)?x)cosxsinx(1?cosx)??21?limx→0?x(ln(1+x)?x)sinx(1?cosx)?21?limx→0?ln(1+x)?x1?cosx?21?limx→0??21?x221?x2??21??
上述步骤中使用了两个等价无穷小：
-
x
→
0
,
1
?
c
o
s
x
～
1
2
x
2
x\rightarrow 0,1-cosx \sim \frac{1}{2}x^2
x→0,1?cosx～21?x2??。
-
x
→
0
,
l
e
n
(
1
+
x
)
?
x
～
?
1
2
x
2
x\rightarrow 0,len(1+x)-x \sim -\frac{1}{2}x^2
x→0,len(1+x)?x～?21?x2?。
例题4
-
定义
F
(
x
)
=
l
n
x
,
F
′
(
x
)
=
1
x
F(x)=lnx,F'(x)=\frac{1}{x}
F(x)=lnx,F′(x)=x1??。 -
根据拉格朗日中值定理，式子
F
(
c
o
s
x
)
?
F
(
1
)
=
l
n
(
c
o
s
x
)
?
l
n
(
1
)
=
l
n
(
c
o
s
x
)
F(cosx)-F(1)=ln(cosx)-ln(1)=ln(cosx)
F(cosx)?F(1)=ln(cosx)?ln(1)=ln(cosx)???可以转换成
F
(
c
o
s
x
)
?
F
(
1
)
=
F
′
(
ξ
)
(
c
o
s
x
?
1
)
F(cosx)-F(1)=F'(\xi)(cosx-1)
F(cosx)?F(1)=F′(ξ)(cosx?1)???。 -
其中
ξ
\xi
ξ?的范围为
c
o
s
x
<
ξ
<
1
cosx<\xi < 1
cosx<ξ<1?。 -
因为
lim
?
x
→
0
c
o
s
x
→
1
\lim_{x\rightarrow 0} cosx \rightarrow 1
limx→0?cosx→1??，根据夹逼定理可得
ξ
→
1
\xi \rightarrow 1
ξ→1?。 -
将上面得到的式子代入：
lim
?
x
→
0
l
n
(
c
o
s
x
)
x
2
=
lim
?
x
→
0
1
ξ
(
c
o
s
x
?
1
)
x
2
=
lim
?
x
→
0
?
1
2
x
2
x
2
=
?
1
2
\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(cosx)}{x^2} &=& \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{\xi}(cosx-1)}{x^2} \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2} \\ &=& -\frac{1}{2} \end{array}
limx→0?x2ln(cosx)??===?limx→0?x2ξ1?(cosx?1)?limx→0?x2?21?x2??21??
例题5
将原式变形：
lim
?
x
→
a
(
s
i
n
x
s
i
n
a
)
1
x
?
a
=
lim
?
x
→
a
e
1
x
?
a
l
n
(
s
i
n
x
s
i
n
a
)
=
e
lim
?
x
→
a
1
x
?
a
(
l
n
(
s
i
n
x
)
?
l
n
(
s
i
n
a
)
)
\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow a}{(\frac{sinx}{sina})}^{\frac{1}{x-a}} &=& \lim_{x\rightarrow a}e^{\frac{1}{x-a}ln(\frac{sinx}{sina})} \\ &=& e^{\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a}(ln(sinx)-ln(sina))} \end{array}
limx→a?(sinasinx?)x?a1??==?limx→a?ex?a1?ln(sinasinx?)elimx→a?x?a1?(ln(sinx)?ln(sina))?
即，转变为求
lim
?
x
→
a
1
x
?
a
(
l
n
(
s
i
n
x
)
?
l
n
(
s
i
n
a
)
)
\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a}(ln(sinx)-ln(sina))
limx→a?x?a1?(ln(sinx)?ln(sina))。
- 定义
F
(
x
)
=
l
n
x
,
F
′
(
x
)
=
1
x
F(x)=lnx,F'(x)=\frac{1}{x}
F(x)=lnx,F′(x)=x1?。
- 根据拉格朗日中值定理，式子
F
(
s
i
n
x
)
?
F
(
s
i
n
a
)
=
l
n
(
s
i
n
x
)
?
l
n
(
s
i
n
a
)
F(sinx)-F(sina)=ln(sinx)-ln(sina)
F(sinx)?F(sina)=ln(sinx)?ln(sina)可以转换成
F
(
s
i
n
x
)
?
F
(
s
i
n
a
)
=
F
′
(
ξ
)
(
s
i
n
x
?
s
i
n
a
)
F(sinx)-F(sina)=F'(\xi)(sinx-sina)
F(sinx)?F(sina)=F′(ξ)(sinx?sina)?。
- 其中
ξ
\xi
ξ?的范围为
s
i
n
x
<
ξ
<
s
i
n
a
sinx<\xi < sina
sinx<ξ<sina?。
- 因为
lim
?
x
→
a
s
i
n
x
→
s
i
n
a
\lim_{x\rightarrow a} sinx \rightarrow sina
limx→a?sinx→sina??，根据夹逼定理可得
ξ
→
s
i
n
a
\xi \rightarrow sina
ξ→sina??。
- 将上面得到的式子代入：
lim
?
x
→
a
1
x
?
a
(
l
n
(
s
i
n
x
)
?
l
n
(
s
i
n
a
)
)
=
lim
?
x
→
a
1
x
?
a
(
1
s
i
n
a
(
s
i
n
x
?
s
i
n
a
)
)
=
lim
?
x
→
a
s
i
n
x
?
s
i
n
a
s
i
n
a
(
x
?
a
)
(①)
\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a}(ln(sinx)-ln(sina)) &=& \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a}(\frac{1}{sina}(sinx-sina)) \\ &=& \lim_{x\rightarrow a}\frac{sinx-sina}{sina(x-a)} \tag{①} \end{array}
limx→a?x?a1?(ln(sinx)?ln(sina))?==?limx→a?x?a1?(sina1?(sinx?sina))limx→a?sina(x?a)sinx?sina??(①)
在计算
s
i
n
x
?
s
i
n
a
sinx-sina
sinx?sina时也可以使用拉格朗日中值定理：
定义
G
(
x
)
=
s
i
n
x
,
G
′
(
x
)
=
c
o
s
x
G(x)=sinx,G'(x)=cosx
G(x)=sinx,G′(x)=cosx，则
G
(
x
)
?
G
(
a
)
=
G
′
(
ξ
)
(
x
?
a
)
G(x)-G(a)=G'(\xi)(x-a)
G(x)?G(a)=G′(ξ)(x?a)。
其中
x
<
ξ
<
a
x<\xi<a
x<ξ<a?，且
x
→
a
x\rightarrow a
x→a??，由夹逼定理可知
ξ
=
a
\xi=a
ξ=a。
s
i
n
x
?
s
i
n
a
=
c
o
s
a
(
x
?
a
)
sinx-sina=cosa(x-a)
sinx?sina=cosa(x?a)?。
将上式代入①：
lim
?
x
→
a
s
i
n
x
?
s
i
n
a
s
i
n
a
(
x
?
a
)
=
lim
?
x
→
a
c
o
s
a
(
x
?
a
)
s
i
n
a
(
x
?
a
)
=
c
o
t
(
a
)
\lim_{x\rightarrow a}\frac{sinx-sina}{sina(x-a)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{cosa(x-a)}{sina(x-a)}=cot(a)
limx→a?sina(x?a)sinx?sina?=limx→a?sina(x?a)cosa(x?a)?=cot(a)。
故，答案为
e
c
o
t
a
e^{cota}
ecota。
例题6
令
x
=
1
n
x=\frac{1}{n}
x=n1??，因
n
→
∞
n\rightarrow \infty
n→∞?则
x
→
0
x\rightarrow 0
x→0??，换元得：
lim
?
n
→
∞
(
n
?
t
a
n
1
n
)
n
2
=
lim
?
x
→
0
(
t
a
n
x
x
)
1
x
2
\lim_{n\rightarrow \infty}(n\cdot tan\frac{1}{n})^{n^2}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{tanx}{x})^{\frac{1}{x^2}}
limn→∞?(n?tann1?)n2=limx→0?(xtanx?)x21??
将原式变形：
lim
?
x
→
0
(
t
a
n
x
x
)
1
x
2
=
lim
?
x
→
0
e
1
x
2
l
n
(
t
a
n
x
x
)
=
e
lim
?
x
→
0
1
x
2
[
l
n
(
t
a
n
x
)
?
l
n
x
]
\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{tanx}{x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{1}{x^2}ln(\frac{tanx}{x})}=e^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}[ln(tanx)-lnx]}
x→0lim?(xtanx?)x21?=x→0lim?ex21?ln(xtanx?)=elimx→0?x21?[ln(tanx)?lnx]
即，转变为求
lim
?
x
→
0
1
n
2
[
l
n
(
t
a
n
x
)
?
l
n
x
]
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{n^2}[ln(tanx)-lnx]
limx→0?n21?[ln(tanx)?lnx]。
- 定义
F
(
x
)
=
l
n
x
,
F
′
(
x
)
=
1
x
F(x)=lnx,F'(x)=\frac{1}{x}
F(x)=lnx,F′(x)=x1?。
- 根据拉格朗日中值定理，式子
F
(
t
a
n
x
)
?
F
(
x
)
=
l
n
(
t
a
n
x
)
?
l
n
x
F(tanx)-F(x)=ln(tanx)-lnx
F(tanx)?F(x)=ln(tanx)?lnx可以转换成
F
(
t
a
n
x
)
?
F
(
x
)
=
F
′
(
ξ
)
(
t
a
n
x
?
x
)
F(tanx)-F(x)=F'(\xi)(tanx-x)
F(tanx)?F(x)=F′(ξ)(tanx?x)?。
- 其中
ξ
\xi
ξ?的范围为
m
i
n
{
t
a
n
x
,
x
}
<
ξ
<
m
a
x
{
t
a
n
x
,
x
}
min\{tanx,x \}<\xi < max\{tanx,x \}
min{tanx,x}<ξ<max{tanx,x}??。
- 因为
lim
?
x
→
0
t
a
n
x
→
0
\lim_{x\rightarrow 0} tanx \rightarrow 0
limx→0?tanx→0???且
lim
?
x
→
0
x
→
0
\lim_{x\rightarrow 0} x \rightarrow 0
limx→0?x→0???，根据夹逼定理可得
ξ
→
0
\xi \rightarrow 0
ξ→0???。
- 将上面得到的式子代入：
lim
?
x
→
0
1
x
2
[
l
n
(
t
a
n
x
)
?
l
n
x
]
=
lim
?
x
→
0
1
x
2
1
ξ
(
t
a
n
x
?
x
)
=
lim
?
x
→
0
t
a
n
x
?
x
x
2
ξ
=
lim
?
x
→
0
1
3
x
3
x
2
ξ
=
1
3
lim
?
x
→
0
x
ξ
\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}[ln(tanx)-lnx] &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}\frac{1}{\xi}(tanx-x) \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx-x}{x^2 \xi} \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{3}x^3}{x^2 \xi} \\ &=& \frac{1}{3} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\xi} \end{array}
limx→0?x21?[ln(tanx)?lnx]?====?limx→0?x21?ξ1?(tanx?x)limx→0?x2ξtanx?x?limx→0?x2ξ31?x3?31?limx→0?ξx??
上式最后一步用到了等价无穷小
x
→
0
,
t
a
n
?
x
～
1
3
x
3
x\rightarrow 0,tan-x \sim \frac{1}{3}x^3
x→0,tan?x～31?x3。
因为
ξ
→
0
\xi \rightarrow 0
ξ→0且
x
→
0
x \rightarrow 0
x→0，则可以认为
ξ
\xi
ξ和
x
x
x等价，即
1
3
lim
?
x
→
0
x
ξ
=
1
3
\frac{1}{3} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\xi}=\frac{1}{3}
31?limx→0?ξx?=31?。
故，答案为
e
1
3
e^{\frac{1}{3}}
e31?。
例题7
将原式变形：
lim
?
x
→
0
(
l
n
(
1
+
x
)
x
)
1
e
x
?
1
=
lim
?
x
→
0
e
1
e
x
?
1
?
l
n
(
l
n
(
1
+
x
)
x
)
\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 0} (\frac{ln(1+x)}{x})^{\frac{1}{e^x-1}} &=& \lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{1}{e^x-1}\cdot ln(\frac{ln(1+x)}{x})} \end{array}
limx→0?(xln(1+x)?)ex?11??=?limx→0?eex?11??ln(xln(1+x)?)?
即，转变为求
lim
?
x
→
0
l
n
(
l
n
(
1
+
x
)
)
?
l
n
(
x
)
e
x
?
1
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(ln(1+x))-ln(x)}{e^x-1}
limx→0?ex?1ln(ln(1+x))?ln(x)???。
- 定义
F
(
x
)
=
l
n
x
,
F
′
(
x
)
=
1
x
F(x)=lnx,F'(x)=\frac{1}{x}
F(x)=lnx,F′(x)=x1?。
- 根据拉格朗日中值定理，式子
F
(
l
n
(
1
+
x
)
)
?
F
(
x
)
=
l
n
(
l
n
(
1
+
x
)
)
?
l
n
x
F(ln(1+x))-F(x)=ln(ln(1+x))-lnx
F(ln(1+x))?F(x)=ln(ln(1+x))?lnx?可以转换成
F
(
l
n
(
1
+
x
)
)
?
F
(
x
)
=
F
′
(
ξ
)
(
l
n
(
1
+
x
)
?
x
)
F(ln(1+x))-F(x)=F'(\xi)(ln(1+x)-x)
F(ln(1+x))?F(x)=F′(ξ)(ln(1+x)?x)?。
- 其中
ξ
\xi
ξ的范围为
m
i
n
{
l
n
(
1
+
x
)
,
x
}
<
ξ
<
m
a
x
{
l
n
(
1
+
x
)
,
x
}
min\{ln(1+x),x \}<\xi < max\{ln(1+x),x \}
min{ln(1+x),x}<ξ<max{ln(1+x),x}。
- 因为
lim
?
x
→
0
l
n
(
1
+
x
)
→
0
\lim_{x\rightarrow 0} ln(1+x) \rightarrow 0
limx→0?ln(1+x)→0且
lim
?
x
→
0
x
→
0
\lim_{x\rightarrow 0} x \rightarrow 0
limx→0?x→0，根据夹逼定理可得
ξ
→
0
\xi \rightarrow 0
ξ→0。
- 将上面得到的式子代入：
lim
?
x
→
0
l
n
(
l
n
(
1
+
x
)
)
?
l
n
(
x
)
e
x
?
1
=
lim
?
x
→
0
1
ξ
(
l
n
(
1
+
x
)
?
x
)
e
x
?
1
=
lim
?
x
→
0
l
n
(
1
+
x
)
?
x
ξ
?
x
=
lim
?
x
→
0
?
1
2
x
2
ξ
?
x
=
lim
?
x
→
0
?
x
2
ξ
\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(ln(1+x))-ln(x)}{e^x-1} &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{\xi}(ln(1+x)-x)}{e^x-1} \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+x)-x}{\xi \cdot x} \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{\xi \cdot x} \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0}-\frac{x}{2\xi} \end{array}
limx→0?ex?1ln(ln(1+x))?ln(x)??====?limx→0?ex?1ξ1?(ln(1+x)?x)?limx→0?ξ?xln(1+x)?x?limx→0?ξ?x?21?x2?limx→0??2ξx??
因为
ξ
→
0
\xi \rightarrow 0
ξ→0且
x
→
0
x \rightarrow 0
x→0，则可以认为
ξ
\xi
ξ和
x
x
x等价，即
lim
?
x
→
0
?
x
2
ξ
=
?
1
2
\lim_{x\rightarrow 0}-\frac{x}{2\xi}=-\frac{1}{2}
limx→0??2ξx?=?21?。
故，答案为
e
?
1
2
e^{-\frac{1}{2}}
e?21??。
|