[数据结构与算法]【数据结构与算法】树（上）

一，为什么需要树

1）数组存储方式分析
优点：通过下标方式访问元素，速度快。对于有序数组，还可使用二分查找提高检索速度。
缺点：如果要检索具体某个值，或者插入值(按一定顺序)会整体移动，效率较低
2）链式存储方式分析
优点：在一定程度上对数组存储方式有优化(比如：插入一个数值节点，只需要将插入节点，链接到链表中即可，删除效率也很好)。
缺点：在进行检索时，效率仍然较低，比如(检查某个值，需要从头节点开始遍历)
3）树存储方式分析
能提高数据存储，读取的效率，比如利用二叉排序树(Binary Sort Tree),既可以保证数据的检索速度，同时也可以保证数据的插入，删除，修改速度。如[7,3,10,1,5,9,12]

二，基本介绍

1.常用术语

• 节点 (一个圈就是一个节点)
• 根节点 (没有父节点的节点)
• 父节点
• 叶子节点 (没有子结点的节点)
• 节点的权 (节点值)
• 路径 (从root节点找到该节点的路径)
• 层
• 子树 (比如B和D组成的树是B的子树，也是A的子树)
• 树的高度(最大层数)
• 森林：多颗子树构成森林
  

三，二叉树

1.概念

1）树有很多种，每个节点最多只能有两个子节点的一种形式成为二叉树。
2）二叉树的子节点分为左节点和右节点

3）如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且节点总数 = 2^n - 1，n为层数，则我们称为满二叉树。

4）如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为完全二叉树。

最后一层的叶子节点在左边连续，举例说明，如果去掉I仍然成立，但如果去掉H就不成立了，因为不满足左边连续，即向左看齐，开头空了一个位置，不连续了。
倒数第二层的叶子节点在右边连续，举例说明，如果去掉E，仍满足右连续，但如果去掉F，则不满足，不在连续，中间空了一个位置。

2.二叉树遍历说明

1）前序遍历：先输出父节点，再遍历左子树和右子树
2）中序遍历：先遍历左子树，再输出父节点，最后输出父节点
3）后序遍历：先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点
**小结：**看输出父节点的顺序，就确定是前序，中序还是后序

前序遍历

思路分析
1）先输出当前节点(初始的时候是root节点)
2）如果左子节点不为空，则递归继续前序遍历
3）如果右子节点不为空，则递归继续前序遍历

中序遍历

思路分析
1）如果当前节点的左子节点不为空，则递归中序遍历
2）输出当前节点
3）如果当前节点的右子节点不为空，则递归中序遍历

后续遍历

思路分析
1）如果当前节点的左子节点不为空，则递归后续排序
2）如果当前节点的右子节点不为空，则递归后续排序
3）输出当前节点

代码实现

package com.atguigu.tree;

public class BinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        //先创建一颗二叉树
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        //创建需要的结点
        HeroNode root = new HeroNode(1,"宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(2,"吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3,"卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4,"林冲");
        //说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归方式创建二叉树
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node3.setRight(node4);
        binaryTree.setRoot(root);
        //测试前序遍历
        System.out.println("前序遍历"); //1,2,3,4
        binaryTree.preOrder();
        //测试中序遍历
        System.out.println("中序遍历"); //2,1,3,4
        binaryTree.infixOrder();
        //测试后续遍历
        System.out.println("后续遍历"); //2,4,3,1
        binaryTree.postOrder();
    }
}
//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
    private HeroNode root;

    public BinaryTree() {

    }

    public BinaryTree(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    //前序遍历
    public void preOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.preOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }
    //中序遍历
    public void infixOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.infixOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }
    //后序遍历
    public void postOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.postOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }
}
//先创建HeroNode 节点
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left; //默认为null
    private HeroNode right; //默认为null

    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }

    public HeroNode getLeft() {
        return left;
    }

    public void setLeft(HeroNode left) {
        this.left = left;
    }

    public HeroNode getRight() {
        return right;
    }

    public void setRight(HeroNode right) {
        this.right = right;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode{" +
                "no=" + no +
                ", name='" + name + '\'' +
                '}';
    }
    //编写前序遍历的方法
    public void preOrder() {
        System.out.println(this); //先输出父节点
        //递归向左子树前序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.preOrder();
        }
        //递归向右子树前序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.preOrder();
        }
    }
    //中序遍历
    public void infixOrder() {
        //递归向左子树中序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }
        //输出父节点
        System.out.println(this);
        //递归向右子树中序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.infixOrder();
        }
    }
    //后续遍历
    public void postOrder() {
        if (this.left != null) {
            this.left.postOrder();
        }
        if (this.right != null) {
            this.right.postOrder();
        }
        System.out.println(this);
    }
}

运行结果

我们的树是这样的


运行结果与我们推断一致，故程序正确。

3.二叉树查找指定的节点

前序查找

思路分析
1）先判断当前节点的no是否等于要查找的
2）如果是相等的，则返回当前节点
3）如果不等，则判断当前的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找
4）如果左递归前序查找，找到节点，则返回，否则继续，当前的结点的右子节点是否为空，如果不空，则继续向右递归前序查找

中序查找

思路分析
1）判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找
2）如果找到，则返回，如果没有找到，就和当前节点比较，如果是则返回当前节点，否则继续进行右递归的中序查找
3）如果右递归中序查找，找到就返回，否则返回null

后序查找

思路分析
1）判断当前节点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找
2）如果找到，就返回，如果没有找到，就判断当前节点的右子节点是否为空，如果不为空，则右递归进行后序查找，如果找到，就返回
3）和当前节点进行比较，如果是就返回，如果不是返回null

代码实现

package com.atguigu.tree;

public class BinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        //先创建一颗二叉树
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        //创建需要的结点
        HeroNode root = new HeroNode(1,"宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(2,"吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3,"卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4,"林冲");
        HeroNode node5 = new HeroNode(5,"关胜");
        //说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归方式创建二叉树
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node3.setRight(node4);
        node3.setLeft(node5);
        binaryTree.setRoot(root);
        System.out.println("====测试前序查找====");
        HeroNode resNode = binaryTree.preOrderSearch(5);
        if (resNode != null) {
            System.out.printf("找到了，信息为 no = %d name = %s \n",resNode.getNo(),resNode.getName());
        } else {
            System.out.printf("没有找到 no = %d 的相关信息",5);
        }
        //测试中序查找
        //前序查找进行了4次
        System.out.println("====测试中序查找====");
        resNode = binaryTree.infixOrderSearch(5);
        if (resNode != null) {
            System.out.printf("找到了，信息为 no = %d name = %s \n",resNode.getNo(),resNode.getName());
        } else {
            System.out.printf("没有找到 no = %d 的相关信息",5);
        }
        //测试后序查找
        //后序查找进行了2次
        System.out.println("====测试后序查找====");
        resNode = binaryTree.postOrderSearch(5);
        if (resNode != null) {
            System.out.printf("找到了，信息为 no = %d name = %s \n",resNode.getNo(),resNode.getName());
        } else {
            System.out.printf("没有找到 no = %d 的相关信息",5);
        }
    }
}
//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
    private HeroNode root;

    public BinaryTree() {

    }

    public BinaryTree(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }
    
    //前序查找
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return root.preOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }
    //中序查找
    public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return root.infixOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }
    //后序查找
    public HeroNode postOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return root.postOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }
}
//先创建HeroNode 节点
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left; //默认为null
    private HeroNode right; //默认为null

    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }

    public HeroNode getLeft() {
        return left;
    }

    public void setLeft(HeroNode left) {
        this.left = left;
    }

    public HeroNode getRight() {
        return right;
    }

    public void setRight(HeroNode right) {
        this.right = right;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode{" +
                "no=" + no +
                ", name='" + name + '\'' +
                '}';
    }
    
    //前序查找
    /**
     *
     * @param no 要查找的no
     * @return 如果找到就返回该Node,如果没有找到返回null
     */
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {
        System.out.println("进入前序查找~~~");
        //判断当前节点是不是
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        //1.则判断当前节点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找
        //2.如果左递归前序查找，找到节点，则返回
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.preOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        //1.左递归前序查找，找到节点，则返回，否则继续判断
        //2.当前的节点的右子节点是否为空，如果不为空，则继续向右递归前序查找
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.preOrderSearch(no);
        }
        return resNode;
    }

    //中序查找
    public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
        //判断当前节点的子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        System.out.println("进入中序查找~~~"); //写在此处的目的是因为，有的只是判断是否为空，并不一定执行了比较操作，而在此数，则必然会执行比较
        //如果找到，则返回，如果没找到，就和当前节点比较，如果是就返回当前节点
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        //否则继续进行右递归的中序查找
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
        }
        return  resNode;
    }

    //后序查找
    public HeroNode postOrderSearch(int no) {
        //判断当前节点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.postOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        //如果左子树没有找到，则向右子树递归进行后序查找
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.postOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        System.out.println("进入后序查找~~~"); //写在此处的目的是因为，有的只是判断是否为空，并不一定执行了比较操作，而在此数，则必然会执行比较
        //如果左右子树都没有找到，就比较当前的节点是不是
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        return resNode;
    }
}

运行结果

我们的树是这样的

运行结果与我们推断一致，故程序正确。

4.二叉树删除节点（初版）

要求

1）如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
2）如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树

思路分析

先考虑如果树是空树root，如果只有一个root节点，则等价于将二叉树置空
1）因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前节点的子节点是否是需要删除的节点，而不是去判断当前这个节点是不是需要删除节点。
2）如果当前节点的左子节点不为空，并且左子节点no就是要删除的节点，就将this.left = null即可；并且就返回（结束递归删除）
3）如果当前节点的右子节点不为空，并且右子节点no就是要删除的节点，就将this.right = null即可；并且就返回（结束递归删除）
4）如果第2步和第3步没有删除这个节点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
5）如果第4不也没有删除，则应当向右子树继续递归删除

代码实现

package com.atguigu.tree;

public class BinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        //先创建一颗二叉树
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        //创建需要的结点
        HeroNode root = new HeroNode(1,"宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(2,"吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3,"卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4,"林冲");
        HeroNode node5 = new HeroNode(5,"关胜");
        //说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归方式创建二叉树
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node3.setRight(node4);
        node3.setLeft(node5);
        binaryTree.setRoot(root);
        //测试删除节点
        System.out.println("删除前，前序遍历");
        binaryTree.preOrder(); //1,2,3,5,4
        binaryTree.delNode(5);
        System.out.println("删除后，前序遍历");
        binaryTree.preOrder(); //1,2,3,4
    }
}
//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
    private HeroNode root;

    public BinaryTree() {

    }

    public BinaryTree(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    //前序遍历
    public void preOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.preOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }

    //删除节点
    public void delNode(int no) {
        if (root != null) {
            if (root.getNo() == no) {
                root = null;
            } else {
                root.delNode(no);
            }
        } else {
            System.out.println("空树，不能删除~");
        }
    }
}
//先创建HeroNode 节点
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left; //默认为null
    private HeroNode right; //默认为null

    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }

    public HeroNode getLeft() {
        return left;
    }

    public void setLeft(HeroNode left) {
        this.left = left;
    }

    public HeroNode getRight() {
        return right;
    }

    public void setRight(HeroNode right) {
        this.right = right;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode{" +
                "no=" + no +
                ", name='" + name + '\'' +
                '}';
    }
    //编写前序遍历的方法
    public void preOrder() {
        System.out.println(this); //先输出父节点
        //递归向左子树前序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.preOrder();
        }
        //递归向右子树前序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.preOrder();
        }
    }

    //递归删除节点
    //1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
    //2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
    public void delNode(int no) {
        if (this.left != null && this.left.no == no) {
            this.left = null;
            return;
        }
        if (this.right != null && this.right.no == no) {
            this.right = null;
            return;
        }
        if (this.left != null) {
            this.left.delNode(no);
        }
        if (this.right != null) {
            this.right.delNode(no);
        }
    }
}

运行结果

原树

删除5号节点
结果应为：


删除3号节点
结果应为：


可见测试结果正确。