1. 思想
假设所有未知的事件出现概率都相等，在有约束的条件下求最优解。
2. 解释
在投骰子的案例中，我们知道骰子有六个面，若我们不知道骰子每个面朝上的概率，那么最安全的选择是假设每个面朝上的概率都相等，即1/6，这样保留了所有的可能性，确保了最大的不确定性。这样的原理就是最大熵原理，将该原理应用到分类得到找出最大熵模型，也是最好的分类模型。
3. 数学表达
3.1 公式
3.2 解释
3.2.1 最大熵原理
在信息论中，熵用于表示随机变量的不确定性大小，熵越大，不确定性则越大。假设离散型随机变量X的概率分布是 P(X)，那么它的熵为：
关于熵的解释可以看笔者的另一篇文章。传送门：熵和KL散度
若每个P(X)都是等可能的，即P(X) = 1/N，则此时H(X) = - logP(X)
?第一个式子表示的是最小化给定X后Y的负的条件熵，换句话说，最大化条件熵。
说说条件熵。假设 Y是一个离散型随机变量，在已知?X的条件下，那么定义?Y?的条件熵为：
?可能比较抽象，简单举个例子会容易理解些，现有X = {x1=下雨, x2=不下雨}，Y = {y1=出去玩，y2=不出去玩}，在已知X的条件下，Y的条件熵H(Y|X) = P(X=x1)H(Y|X=x1) +?P(X=x2)H(Y|X=x2)。直观上理解这步操作将数据集划分成了两份，一份和x1有关，一份和x2有关，分别计算这两份数据集下y的熵，也就是条件熵。这点和决策树一样，决策树通过计算在已知某个特征的情况下，Y的条件熵，从而计算信息增益，进而找到最优特征进行分枝。
有了目标函数后，现在需要最大化条件熵H(Y|X)，也就有了如下式子：
通常，我们会将最大化问题转化为最小化问题，从而推导出3.1中的第一个式子：
?3.2.2 经验分布和特征函数
?根据贝叶斯公式，我们知道后验分布=联合分布/边缘分布，即
?转换得到：
通过我们手中的数据集，该式子中P(X)和P(X|Y)P(Y)是可以得知的，被称为经验分布，P(Y|X)是未知的，也是我们要拟合的目标分布。
给定一个训练数据集，我们希望能借助最大熵原理从该数据集中学习到最好的分类模型。
我们可以从数据集中得到?和
的经验分布，其中v(X=x)表示样本x出现的频数，?
?表示样本数：
往往在真实分布未知的情况下，我们会用经验分布去近似。后验分布即我们最后得到的近似真实分布的分布。
我们通过观察数据集往往能发现一些事实，例如在一份扔骰子的数据集中，我们发现6朝上占比为 1/6；再例如一份关于天气的数据集中，我们发现湿度高且多云的天气下，几乎都会下雨。对于这些观察到的事实，往往采用特征函数去表示：
?接着可以通过这些观察到的事实去约束模型，先定义特征函数关于经验分布
的期望值
和关于联合分布的期望值
?我们自然希望通过经验分布得到的联合分布（包含后验分布P(Y|X)和经验分布P(X)）。如果模型能够获取训练数据中的信息，那么久可以假设这两个期望值相等，即
或
这是我们的约束条件，即3.1中的第二个式子。
可以发现，两边的未知量只有?。就这样我们得到了最大熵模型中的约束条件，这些约束条件约束了可选的概率模型集合，假设满足所有约束条件的模型集合为：
最后因为概率之和等于1，再添加多一个约束条件：
?这也是3.1中的最后一个式子。
?3.3 求解最大熵模型
可以定义该问题为有约束的优化问题，这类问题通常可用拉格朗日乘数法解决，通过引入拉格朗日乘数w，得到拉格朗日函数，有：
代入具体式子：
在拉格朗日乘数法中，最优化的初始问题为
对偶问题为?
在本案例中，初试问题的解等于对偶问题的解，即上述两式相等。详细展开可以看一下凸优化的相关文章。
在将原始问题转换为对偶问题后，开始求解。
首先对偏导，求偏导为0的P(Y|X)。?如下：?
?本例中，关于的函数虽然有很多累加符号，但实际上我们一次只对其中的一个P(y|x)求偏导，其他与之无关的变量都可看做常数在求偏导后被消去。
?4. 求解后的最大熵模型
?在3.3中，我们通过推导得到了我们需要的后验分布P(Y|X)，大家仔细看看这个式子，是不是有一种熟悉感？
没错，这个式子就是逻辑回归的原函数，sigmoid函数，逻辑回归为什么用sigmoid函数来作为激活函数？因为这是通过最大熵模型求解出来的。
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