[数据结构与算法]数据结构 —— 图

第6章 图

6.1 图的相关知识

6.2 邻接矩阵 邻接表

• 邻接矩阵：适合稠密图
  • 若有N个结点、E条边，时间复杂度为 O(N²)

/* 图的邻接矩阵表示法 */
#define MaxVertexNum 100    /* 最大顶点数设为100 */
#define INFINITY 65535        /* ∞设为双字节无符号整数的最大值65535*/
typedef int Vertex;         /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
typedef int WeightType;        /* 边的权值设为整型 */
typedef char DataType;        /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */

/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
    Vertex V1, V2;      /* 有向边<V1, V2> */
    WeightType Weight;  /* 权重 */
};
typedef PtrToENode Edge;
       
/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{
    int Nv;  /* 顶点数 */
    int Ne;  /* 边数   */
    WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 邻接矩阵 */
    DataType Data[MaxVertexNum];      /* 存顶点的数据 */
    /* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data[]可以不用出现 */
};
typedef PtrToGNode MGraph; /* 以邻接矩阵存储的图类型 */

MGraph CreateGraph( int VertexNum ) { /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */
    Vertex V, W;
    MGraph Graph;
    
    Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立图 */
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    /* 初始化邻接矩阵 */
    /* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
        for (W=0; W<Graph->Nv; W++)  
            Graph->G[V][W] = INFINITY;         
    return Graph; 
}
       
void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E ) {
     /* 插入边 <V1, V2> */
     Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;    
     /* 若是无向图，还要插入边<V2, V1> */
     Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}

MGraph BuildGraph() {
    MGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv, i;
    
    scanf("%d", &Nv);   /* 读入顶点个数 */
    Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */ 
    
    scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 读入边数 */
    if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */ 
        E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立边结点 */ 
        /* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */
        for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
            scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); 
            /* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */
            InsertEdge( Graph, E );
        }
    } 

    /* 如果顶点有数据的话，读入数据 */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) 
        scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));
    return Graph;
}

• 邻接表：存储邻接矩阵的每一行
  • 方便找到某一结点的所有邻接点
  • 节约稀疏图的内存空间：需要N个头指针 + 2E个结点（每个结点至少2个域）
  • 方便计算无向图的度
  • 对于有向图，只能计算出度，需要构造逆邻接表才方便计算入度
  • 不方便检查任意一对顶点间是否存在边

/* 图的邻接表表示法 */
#define MaxVertexNum 100    /* 最大顶点数设为100 */
typedef int Vertex;         /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
typedef int WeightType;        /* 边的权值设为整型 */
typedef char DataType;        /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */

/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
    Vertex V1, V2;      /* 有向边<V1, V2> */
    WeightType Weight;  /* 权重 */
};
typedef PtrToENode Edge;

/* 邻接点的定义 */
typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode; 
struct AdjVNode{
    Vertex AdjV;        /* 邻接点下标 */
    WeightType Weight;  /* 边权重 */
    PtrToAdjVNode Next;    /* 指向下一个邻接点的指针 */
};

/* 顶点表头结点的定义 */
typedef struct Vnode{
    PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */
    DataType Data;            /* 存顶点的数据 */
    /* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data可以不用出现 */
} AdjList[MaxVertexNum];    /* AdjList是邻接表类型 */

/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{  
    int Nv;     /* 顶点数 */
    int Ne;     /* 边数   */
    AdjList G;  /* 邻接表 */
};
typedef PtrToGNode LGraph; /* 以邻接表方式存储的图类型 */

LGraph CreateGraph( int VertexNum ) { /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */
    Vertex V;
    LGraph Graph;
    
    Graph = (LGraph)malloc( sizeof(struct GNode) ); /* 建立图 */
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    /* 初始化邻接表头指针 */
    /* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */
       for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
        Graph->G[V].FirstEdge = NULL;
    return Graph; 
}
       
void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E ) {
    PtrToAdjVNode NewNode;
    
    /* 插入边 <V1, V2> */
    /* 为V2建立新的邻接点 */
    NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
    NewNode->AdjV = E->V2;
    NewNode->Weight = E->Weight;
    /* 将V2插入V1的表头 */
    NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;
    Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;
        
    /* 若是无向图，还要插入边 <V2, V1> */
    /* 为V1建立新的邻接点 */
    NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
    NewNode->AdjV = E->V1;
    NewNode->Weight = E->Weight;
    /* 将V1插入V2的表头 */
    NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;
    Graph->G[E->V2].FirstEdge = NewNode;
}

LGraph BuildGraph() {
    LGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv, i;
    
    scanf("%d", &Nv);   /* 读入顶点个数 */
    Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */ 
    
    scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 读入边数 */
    if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */ 
        E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立边结点 */ 
        /* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */
        for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
            scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); 
            /* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */
            InsertEdge( Graph, E );
        }
    } 

    /* 如果顶点有数据的话，读入数据 */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) 
        scanf(" %c", &(Graph->G[V].Data));
    return Graph;
}

• 逆邻接表：存储邻接矩阵的每一列

6.3 图的遍历

6.3.1 深度优先搜索 DFS

伪代码描述:

void DFS ( Vertex V ) {
    visited[ V ] = true;
    for ( V的每一个临界点 w )
        if ( !visited [ w ] )
        	DFS( w );
}

/* 邻接表存储的图 - DFS */

void Visit( Vertex V ) {
    printf("正在访问顶点%d\n", V);
}

/* Visited[]为全局变量，已经初始化为false */
void DFS( LGraph Graph, Vertex V, void (*Visit)(Vertex) ) {   
	/* 以V为出发点对邻接表存储的图Graph进行DFS搜索 */
    PtrToAdjVNode W;
    
    Visit( V ); /* 访问第V个顶点 */
    Visited[V] = true; /* 标记V已访问 */

    for( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ) /* 对V的每个邻接点W->AdjV */
        if ( !Visited[W->AdjV] )    /* 若W->AdjV未被访问 */
            DFS( Graph, W->AdjV, Visit );    /* 则递归访问之 */
}

6.3.2 广度优先搜索 BFS

/* 邻接矩阵存储的图 - BFS */

/* IsEdge(Graph, V, W)检查<V, W>是否图Graph中的一条边，即W是否V的邻接点。  */
/* 此函数根据图的不同类型要做不同的实现，关键取决于对不存在的边的表示方法。*/
/* 例如对有权图, 如果不存在的边被初始化为INFINITY, 则函数实现如下:         */
bool IsEdge( MGraph Graph, Vertex V, Vertex W )
{
    return Graph->G[V][W] < INFINITY ? true : false;
}

/* Visited[]为全局变量，已经初始化为false */
void BFS ( MGraph Graph, Vertex S, void (*Visit)(Vertex) )
{   /* 以S为出发点对邻接矩阵存储的图Graph进行BFS搜索 */
    Queue Q;     
    Vertex V, W;

    Q = CreateQueue( MaxSize ); /* 创建空队列, MaxSize为外部定义的常数 */
    /* 访问顶点S：此处可根据具体访问需要改写 */
    Visit( S );
    Visited[S] = true; /* 标记S已访问 */
    AddQ(Q, S); /* S入队列 */
    
    while ( !IsEmpty(Q) ) {
        V = DeleteQ(Q);  /* 弹出V */
        for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
            /* 若W是V的邻接点并且未访问过 */
            if ( !Visited[W] && IsEdge(Graph, V, W) ) {
                /* 访问顶点W */
                Visit( W );
                Visited[W] = true; /* 标记W已访问 */
                AddQ(Q, W); /* W入队列 */
            }
    } // end while
}

6.3.3 DFS 和 BFS 比较

• BFS是围绕某个点一层一层的进行遍历，借助队列的数据结构实现。
• DFS是从一个点出发一直往深处遍历，条件不符就折返，通过栈的数据结构实现。
• 在正常情况下二者的时间复杂度都是相同的O（v+e），但是在内存的使用上BFS由于要使用队列存储所有的外层节点，所以内存消耗相对较大。
• 从宏观上来看：
  • 如果你已经知道解离根节点比较近，那么BFS更好
  • 如果整体上每个节点的边很多，那么BFS消耗的内存会很大
  • 如果一棵树很深而解很少，那么DFS可能会很慢（相反如果解很多并且都比较深的话，那么BFS就会很慢）从名字上就很容易得出，
  • 如果一个问题深度无穷而广度有限，那么DFS就没法获得解，但BFS可以，反之也同理。
• 从具体应用上看：
  • DFS比较适合判断图中是否有环，寻找两个节点之间的路径，有向无环图（DAG）的拓扑排序，寻找所有强连通片（SCC），无向图中寻找割点和桥等；
  • BFS则比较适合判断二分图，以及用于实现寻找最小生成树（MST），如在BFS基础上的Kruskal算法。还有寻找最短路径问题（如Dijkstra算法）

6.3.4 应用实例：六度空间

算法思路：

• 对图里的每个节点，进行广度优先搜索
• 搜索过程中累计访问的节点数
• 需要记录层数，仅计算6层以内的节点数

存储结构：

• 顶点数V，边数E，首先根据 V+2E = V*V，得出
  • 当 E = (V*V - V) / 2 时，邻接矩阵和邻接表的存储空间相同；（条件1）
  • 当 E > (V*V - V) / 2 时，邻接矩阵更优；（条件2）
  • 当 E < (V*V - V) / 2 时，邻接表更优；（条件3）
• 由于当图有V个顶点时，最大的边数 E = (V*V - V) / 2，因此
  • 条件1，也就对应于 “全相连”（所有点都和除自身外所有点相连）；
  • 条件2，永远不可能出现；
  • 条件3，只要不是“全相连”即可。
• 那么也就是说不管题目中条件（E <= 33 * V ）如何，一定有邻接表更优。

伪代码：

void SixDegreesofSeparation() {
	for(each V in G) {
		count = BFS(V);
		Output(count/N);
	}
}

int BFS(Vertex V) {
	visited[V] = true;  count = 1;
	level = 0;  //当前顶点所在层数
	last = V;  //当前这一层访问的最后一个结点
	Enqueue(V, Q);
	while ( !IsEmpty(Q) ) {
		V = Dequeue(Q);
		for( V 的每一个邻接点 W )
			if( !visited[W] ) {
				visited[W] = true;
				Enqueue(W, Q);  count++;
				tail = W;  //tail指向下一层进队列的最后一个结点
			}
		if ( V == last ) { level++;  last = tail; }
		if ( level == 6 ) break;
	}
	return count;
}

代码示例：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <iomanip>
using namespace std;

#define MaxVertexNum 200  //最大顶点数
using Vertex = int;  //用顶点下标表示顶点
using WeightType = int;  //边的权值

struct ENode {
    Vertex V1, V2;  //有向边 <V1,V2>
};  using Edge = struct ENode*;

struct GNode {
    int Nv;  //顶点数
    int Ne;  //边数
    WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
};  using Graph = struct GNode*;

bool visited[MaxVertexNum];  //访问情况

void BuildGraph(Graph& graph) {
    Edge E;
    int i, j;

    //初始化图
    graph = (Graph)malloc(sizeof(GNode));
    if (!graph) exit(-1);
    cin >> graph->Nv >> graph->Ne;
    for (i = 1; i <= graph->Nv; i++)  //初始化邻接矩阵
        for (j = 1; j <= graph->Nv; j++)
            graph->G[i][j] = 0;

    if (graph->Ne != 0) {
        E = (Edge)malloc(sizeof(ENode));
        if (!E) exit(-1);

        for (i = 1; i <= graph->Ne; i++) { //插入边
            cin >> E->V1 >> E->V2;
            graph->G[E->V1][E->V2] = 1;
            graph->G[E->V2][E->V1] = 1;  //无向图要插入两条边
        }
    }
}

int BFS(Graph graph, Vertex V) {
    for (int i = 1; i <= graph->Nv; i++)
        visited[i] = false;  //初始化访问情况数组

    int count = 1;  //符合条件的个数(count<=6)
    int level = 0;  //当前顶点所在层数
    int last = V;  //last表示 当前这一层访问的最后一个节点
    int tail;  //最终tail指向下一层进队列的最后一个结点
    queue<int> q;
    q.push(V);
    visited[V] = true;

    while (!q.empty()) {
        V = q.front();  //在while循环中，V作为临时存储点
        q.pop();
        for (int w = 1; w <= graph->Nv; w++) {
            if (!visited[w] && graph->G[V][w] == 1) {  //邻接点w没有被访问过，且Vw有边
                visited[w] = true;  //访问邻接点w
                q.push(w);
                ++count;
                tail = w;
            }
        }
        if (V == last) {  //访问完本层之后，进入下一层，last更新
            ++level;
            last = tail;
        }
        if (level == 6) break;  //层数达到6，结束BFS，返回符合条件的个数
    }// end while
    return count;
}

int main() {
    Graph graph;
    BuildGraph(graph);
    for (int i = 1; i <= graph->Nv; i++)
    {
        int count = BFS(graph, i);
        cout << i << ": " << fixed << setprecision(2)
             << count * 100.0 / graph->Nv << '%' << endl;  //格式化输出
    }
}

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