一，应用场景
修路问题：
如下图：
1）假设一个乡有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G),现在需要修路把7个村庄连通
2）各个村庄的距离用边线表示(权)，比如A-B距离5公里
3）问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短？
尽可能选择少的路线，并且每条线路最少，保证总里程数最小。
二，问题分析
修路问题的本质就是最小生成树问题
1.最小生成树
1）最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST；
2）给定一个带权的无向连通图，如何选取一颗生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这就叫最小生成树；
3）包含全部顶点；
4）N-1条边都在图中;
5）举例说明(如下图)；
6）求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁卡尔算法。
三，基本介绍
普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找到只有(n - 1)条包含所有n个顶点的连通图，也就是所谓的极小连通子图
四，基本步骤
1）设G = (V,E)是连通图，T = (U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
2）若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合v中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u] = 1
3）若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边(ui,vj)加入集合中D中，标记visited[vj] = 1
4）重复步骤2），直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n - 1条边
五，思路分析
1）从[A]顶点开始处理
A - C[7] ,A - G[2],A-B[5]
A到G距离最短，所以选择G点，所以[A,G]
2）从[A,G]开始，将A和G顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理
A - C[7],A - B[5],G - B[4],G - E[4],G - F[6],所以选择B点 ，所以[A,G,B]
3）从[A,G，B]开始，将A和B顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理
A - C[7],G - E[4],G - F[6],B - D[9],所以选择E点 ，所以[A,G,B,E]
…
依次类推，知道所有点都加入该集合中。
六，代码实现
package com.algorithm.prim;
import java.util.Arrays;
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二位数组表示，10000这个大树，表示这两个点不连通
int[][] weight = new int[][]{
{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
{5,10000,10000,9,10000,10000,4},
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
{2,4,10000,10000,4,6,10000}
};
//创建MGraph对象
MGraph mGraph = new MGraph(verxs);
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(mGraph,verxs,data,weight);
minTree.showGraph(mGraph); //输出
minTree.prim(mGraph,0);
}
}
//创建最小生成树 -> 村庄的图
class MinTree {
//创建图的邻接矩阵
/**
*
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph,int verxs,char[] data,int[][] weight) {
int i,j;
for (i = 0;i < verxs;i++) {
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0;j < verxs;j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
//显示图的邻接矩阵
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//编写prim算法，得到最小生成树
/**
*
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A' -> 0 'B' -> 1...
*/
public void prim(MGraph graph,int v) {
//标记节点是否被访问过
int[] visited = new int[graph.verxs];
//visited[] 默认元素的值都是0，表示没有被访问过
// for (int i = 0;i < graph.verxs;i++) {
// visited[i] = 0;
// }
//把当前这个节点标记为已访问
visited[v] = 1;
//h1 和 h2 记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000;//将minWeight初始化一个大树，后面在遍历过程中，会被替换
for (int k = 1;k < graph.verxs;k++) { //因为有graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有graph.verxs - 1 边
//确定每一次生成的子图，和哪个节点的距离最近
for (int i = 0;i < graph.verxs;i++) { // i表示被访问过的节点
for (int j = 0;j < graph.verxs;j++) { //j节点表示还没有访问过的节点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
//替换minWeight(寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间的权值最小的边)
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
//找到一条边是最小的
System.out.println("边 < " + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + " > 权值:" + minWeight);
//将当前的节点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
//minWeight 重新设置为最大值 10000
minWeight = 10000;
}
}
}
class MGraph {
int verxs; //表示图的节点个数
char[] data; //存放节点数据
int[][] weight; //存放边，就是我们的邻接矩阵
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
七，运行结果
与我们分析的一样
八，疑惑解答
1.visited[i] == 1 && visited[j] == 0的作用
根据我们分析，我们在找最小的边时，都是找已访问的节点中还能够连接未被访问过的节点的边的最小，这个边必须满足，一个节点是已经访问过的，即这里的visited[i] == 1，然后另一个节点是没有访问过的，即visited[j] == 0，只要使用minWeight就通过一次次的比较，得出符合最小的的边，输出即可。
2.为什么这种算法能保证路径是最短的
你仔细观察，按照思路用不同节点走几遍，你会发现每一个节点所在的最小的边绝对被使用到了，所以必然是最小的。