[数据结构与算法]算法自学笔记：动态规划的基本思想和概念（1）记忆化优化递归程序

一些静态模型，只要人为引入“时间”因素，就可以转化为多阶段动态模型，用动态规划处理。

最优化原理(principle of optimality)：一个最优策略的子策略，对于它的初态和终态必然是最优的

例：斐波那契数列
递归方法可以很容易求得，但是效率低下，因为其子状态被重复计算。可以把已经计算过的值记录下来，避免重复计算。

package preDP;

public class Fibonacci {

	public static int mod = 1000000007;	// use to in fractorial, permutation, combination of large numbers
	public static int[] a = new int[100001];
	
	public static int f(int x) {
		if (a[x] != 0) {
			return a[x];
		}
		if (x <= 2) {
			return a[x] = 1;
		} else {
			return a[x] = (f(x - 1) + f(x - 2)) % mod;
		}
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub

		System.out.println(f(100));
	}

}

该程序为使用记忆式计算的斐波那契数列。

程序解析：
1 int mod = 1000007
对于大整数阶乘或排列组合可以通过对1000000007取模（中间8个0）。在大数相乘的时候
因为(a?b)%c=((a%c)?(b%c))%c
所以相乘时两边都对1000000007取模，再保存在int64里面不会溢出

2通过建立一个大数组，利用数组保存重复状态的计算结果，避免重复计算。

3状态转移方程：f[i] = f[i - 1] + f[i - 2] i >= 3

4任何一个状态只和确定的前几项直接相关