[数据结构与算法]维特比算法

一、概述

??维特比算法是安德鲁.维特比(Andrew Viterbi)于1967年为解决通信领域中的解码问题而提出的，它同样广泛用于解决自然语言处理中的解码问题，隐马尔可夫模型的解码是其中典型的代表。无论是通信中的解码问题还是自然语言处理中的解码问题，本质上都是要在一个篱笆网络中寻找得到一条最优路径。
??所谓篱笆网络，指的是单向无环图，呈层级连接，各层节点数可以不同。如图是一个篱笆网络，连线上的数字是节点间概念上的距离（如间距、代价、概率等），现要找到一条从起始点到终点的最优路径。

??在实际问题中，节点数和层数往往是大量的，因而采取遍历所有的路径计算其距离进行比较的方式是不可行的。维特比算法正是通过动态规划的方式高效求得这条最优路径。

二、维特比算法

1.算法原理

??该问题具有这样一个特性，对于最优（如最短距离）的路径，任意一段子路径一定是该段两端点间所有可达路径中最优的，如若不然，将该段中更优的子路径接到两端点便构成了另一个整体最优路径，这是矛盾的。或者说，最优路径中，从起始点到由近及远的任一点的子路径，一定是该段所有可达路径中最优的。也即，整体最优，局部一定最优。

??该特性也就是说，对每个节点而言，如果最优路径经过这一点，则一定是经过从起始点到这点的这段最优路径。那么，只要从头开始，由局部向整体推进，渐次地找到起始点到当前点的最优路径，算至终点便得到了整体最优路径。这样的方式叫做动态规划，是维特比算法的基本思想。
维特比算法求解篱笆网络最短路径的过程为：
??从第一层开始，对每一层的每一个节点，计算出起始点到它的最短距离，并记录下相应最短路径下它的前一个节点，逐层递推，算至终止点时便得到了整体最短距离，再依照节点记录下的前置节点进行回溯，就得到了最短路径的序列。对第$i$层第$j$个节点$P_{i,j}$，假设起始点到它的最短距离为$D\left(P_{i,j}\right)$，相应最短路径下它的前一个节点为$Pre\left(P_{i,j}\right)$，则

$$D\left(P_{i,j}\right)=\underset{1\le k\le N}{\min }\left[D_{i?1,k}+d(P_{i?1,k},P_{i,j})\right]$$
也就是，对前一层的所有节点，计算每一个节点的记录的最短距离D与它到当前节点的距离d的和，取其中最小的那个值（其中， $d(A,B)$表示A,B两节点间的距离。）.

$$Pre\left(P_{i,j}\right)=P_{i?1,j?}=arg\underset{1\le k\le N}{\min }\left[D_{i?1,k}+d(P_{i?1,k},P_{i,j})\right]$$
也就是，满足距离最短的那条路径上在前一层的节点.

2.示例

??在如下网络中，连线上的数字是节点间的距离，求S点到E点的最短距离和与之对应的路径。

第一层：
对节点$P_{1,1}$，
起始点到它只有一条路径，最短距离$D(P_{1,1})=2$，前一个节点$Pre(P_{1,1})=S$；

对节点$P_{1,2}$，
起始点到它只有一条路径，最短距离 $D(P_{1,2})=1$，前一个节点$Pre(P_{1,2})=S$；

对节点$P_{1,3}$，
起始点到它只有一条路径，最短距离$D(P_{1,3})=3$，前一个节点$Pre(P_{1,3})=S$ 。

第二层：
对节点 $P_{2,1}$，
$D(P_{1,1})+d(P_{1,1}，P_{2,1})=2+3=5$，
$D(P_{1,2})+d(P_{1,2}，P_{2,1})=1+2=3$ ，
$D(P_{1,3})+d(P_{1,3}，P_{2,1})=3+9=12$，
最短距离 D ( P 2 , 1 ) = m i n { 5 , 3 , 12 } = 3 D(P_{2,1}) = min\left\{ 5,3,12 \right\} = 3 D(P2,1?)=min{5,3,12}=3，前一个节点$Pre(P_{2,1})=P_{1,2}$ ;

对节点$P_{2,2}$ ，
$D(P_{1,1})+d(P_{1,1}，P_{2,2})=2+6=8$，
$D(P_{1,2})+d(P_{1,2}，P_{2,2})=1+5=6$，
$D(P_{1,3})+d(P_{1,3}，P_{2,2})=3+2=5$，
最短距离 D ( P 2 , 2 ) = m i n { 8 , 6 , 5 } = 5 D(P_{2,2}) = min\left\{ 8,6,5 \right\} = 5 D(P2,2?)=min{8,6,5}=5，前一个节点$Pre(P_{2,2})=P_{1,3}$ ;

对节点$P_{2,3}$，
$D(P_{1,1})+d(P_{1,1}，P_{2,3})=2+4=6$ ，
$D(P_{1,2})+d(P_{1,2}，P_{2,3})=1+7=8$，
$D(P_{1,3})+d(P_{1,3}，P_{2,3})=3+6=9$ ，
最短距离 D ( P 2 , 3 ) = m i n { 6 , 8 , 9 } = 6 D(P_{2,3}) = min\left\{ 6,8,9 \right\} = 6 D(P2,3?)=min{6,8,9}=6，前一个节点$Pre(P_{2,3})=P_{1,1}$ ;

第三层：
对节点 $P_{3,1}$，
$D(P_{2,1})+d(P_{2,1}，P_{3,1})=3+9=12$，
$D(P_{2,2})+d(P_{2,2}，P_{3,1})=5+2=7$，
$D(P_{2,3})+d(P_{2,3}，P_{3,1})=6+6=12$，
最短距离 D ( P 3 , 1 ) = m i n { 12 , 7 , 12 } = 7 D(P_{3,1}) = min\left\{ 12,7,12 \right\} = 7 D(P3,1?)=min{12,7,12}=7，前一个节点$Pre(P_{3,1})=P_{2,2}$;

对节点$P_{3,2}$，
$D(P_{2,1})+d(P_{2,1}，P_{3,2})=3+3=6$，
$D(P_{2,2})+d(P_{2,2}，P_{3,2})=5+6=11$，
$D(P_{2,3})+d(P_{2,3}，P_{3,2})=6+3=9$，
最短距离 D ( P 3 , 2 ) = m i n { 6 , 11 , 9 } = 6 D(P_{3,2}) = min\left\{ 6,11,9 \right\} = 6 D(P3,2?)=min{6,11,9}=6，前一个节点$Pre(P_{3,2})=P_{2,1}$;

对节点$P_{3,3}$，
$D(P_{2,1})+d(P_{2,1}，P_{3,3})=3+8=11$，
$D(P_{2,2})+d(P_{2,2}，P_{3,3})=5+7=12$，
$D(P_{2,3})+d(P_{2,3}，P_{3,3})=6+4=10$，
最短距离 D ( P 3 , 3 ) = m i n { 11 , 12 , 10 } = 10 D(P_{3,3}) = min\left\{ 11,12,10 \right\} = 10 D(P3,3?)=min{11,12,10}=10，前一个节点$Pre(P_{3,3})=P_{2,3}$;

第四层（终点）：
对节点 $E$，
$D(P_{3,1})+d(P_{3,1}，E)=7+3=10$，
$D(P_{3,2})+d(P_{3,2}，E)=6+7=13$，
$D(P_{3,3})+d(P_{3,3}，E)=10+6=16$，
最短距离 D ( E ) = m i n { 10 , 13 , 16 } = 10 D(E) = min\left\{ 10,13,16 \right\} = 10 D(E)=min{10,13,16}=10，前一个节点$Pre(E)=P_{3,1}$;

又$Pre(E)=P_{3,1}$，$Pre(P_{3,1})=P_{2,2}$，$Pre(P_{2,2})=P_{1,3}$，$Pre(P_{1,3})=S$
故最短距离为10，与之对应的路径为（$S$，$P_{1,3}$，$P_{2,2}$，$P_{3,1}$，$E$）.

三、隐马尔可夫模型的解码

1.问题描述

??隐马尔可夫模型（HMM）的解码问题指，给定模型和输出序列，如何找出最有可能产生这个输出的状态序列。自然语言处理中，也即如何通过观测信号确定最有可能对应的实际语义。在状态序列上，每个状态位是状态集合中的元素之一，因此该问题等价于在状态集合中的节点构成的有向网络（篱笆网络）中找出一条概率最大的路径（最优路径），如图。该问题可以通过维特比算法得到高效的解决。

2.算法叙述

??假设 $P(s_{t,j})$表示从起始时刻到$s_{t,j}$的最优路径的概率，$Pre(s_{t,j})$表示从起始时刻到 $s_{t,j}$的最优路径上前一个节点，则隐马尔可夫模型的维特比解码算法为：

输入：隐马尔可夫模型 $\lambda =(\pi ,A,B)$和观测 $O=(o_1,o_2,...,o_T)$；
输出：最优状态序列$S^{?}=(s_1^{?},s_2^{?},...,s_T^{?})$.
(1)初始化
????$P(s_{1,j})={\pi }_j{b}_j(o_1)$，
????$Pre(s_{1,j})=None$，$j=1,2,...,N$

(2)递推
?对 $t=2,3,...,T$
$$P(s_{t,j})=\underset{1\le k\le N}{\max }\left[P(s_{t?1,k})a_{kj}\right]b_j(o_t)$$
$$Pre(s_{t,j})=arg\underset{1\le k\le N}{\max }\left[P(s_{t?1,k})a_{kj}\right]$$，$j=1,2,...,N$.

(3)递推终止
?最大概率$$P^{?}=\underset{1\le j\le N}{\max }P(s_{T,j})$$
?最优路径上的最后一个状态$$s_T^{?}=arg\underset{1\le j\le N}{\max }\left[P(s_{T,j})\right]$$

(4)回溯路径，确定最优状态序列
????$S^{?}=\left(s_1^{?},s_2^{?},...,s_{T?1}^{?},s_T^{?}\right)$
?????$=\left(Pre(s_2^{?}),Pre(s_3^{?}),...,Pre(s_T^{?}),s_T^{?}\right)$

3.示例

（参考自《统计学习方法》）
状态集合 Q = { q 1 , q 2 , q 3 } Q=\left\{ q_1, q_2, q_3 \right\} Q={q1?,q2?,q3?}，观测集合 V = { 0 , 1 } V=\left\{ 0,1 \right\} V={0,1}，模型 $\lambda =\left(\pi ,A,B\right)$ ，

$A=?\begin{array}{ccc}0.5& 0.2& 0.3\\ 0.3& 0.5& 0.2\\ 0.2& 0.3& 0.5\end{array}?$ , $B=?\begin{array}{cc}0.5& 0.5\\ 0.4& 0.6\\ 0.7& 0.3\end{array}?$,$\pi ={\left(0.2,0.4,0.4\right)}^T$

已知观测序列$O=\left(0,1,0\right)$，求最优状态序列。

解：
(1)在t=1时（初始化），对每一个状态，求观测为0的最大概率
?$P(s_{1,1})=0.2\times 0.5=0.1$，$Pre(s_{1,1})=None$
?$P(s_{1,2})=0.4\times 0.4=0.16$，$Pre(s_{1,2})=None$
?$P(s_{1,3})=0.4\times 0.7=0.28$，$Pre(s_{1,3})=None$

(2)在t=2时，对每一个状态，求观测为1的
?最大概率$$P(s_{2,j})=\underset{1\le k\le 3}{\max }\left[P(s_{1,k})a_{kj}\right]b_j(1)$$
?当前最优的前一个状态$$Pre(s_{2,j})=arg\underset{1\le k\le 3}{\max }\left[P(s_{1,k})a_{kj}\right]$$，$j=1,2,3.$
P ( s 2 , 1 ) = m a x { 0.1 × 0.5 × 0.5 , 0.16 × 0.3 × 0.5 , 0.28 × 0.2 × 0.5 } P(s_{2,1})=max\left\{ 0.1\times0.5\times0.5, 0.16\times0.3\times0.5, 0.28\times0.2\times0.5 \right\} P(s2,1?)=max{0.1×0.5×0.5,0.16×0.3×0.5,0.28×0.2×0.5}$=0.028$

$Pre(s_{2,1})=s_{1,3}=q_3$

P ( s 2 , 2 ) = m a x { 0.1 × 0.2 × 0.6 , 0.16 × 0.5 × 0.6 , 0.28 × 0.3 × 0.6 } P(s_{2,2})=max\left\{ 0.1\times0.2\times0.6,0.16\times0.5\times0.6,0.28\times0.3\times0.6 \right\} P(s2,2?)=max{0.1×0.2×0.6,0.16×0.5×0.6,0.28×0.3×0.6}$=0.0504$

$Pre(s_{2,2})=s_{1,3}=q_3$

P ( s 2 , 3 ) = m a x { 0.1 × 0.3 × 0.3 , 0.16 × 0.2 × 0.3 , 0.28 × 0.5 × 0.3 } P(s_{2,3})=max\left\{ 0.1\times0.3\times0.3, 0.16\times0.2\times0.3,0.28\times0.5\times0.3 \right\} P(s2,3?)=max{0.1×0.3×0.3,0.16×0.2×0.3,0.28×0.5×0.3}$=0.042$

$Pre(s_{2,3})=s_{1,3}=q_3$

(3)在t=3时，对每一个状态，求观测为0的
?最大概率 $$P(s_{3,j})=\underset{1\le k\le 3}{\max }\left[P(s_{2,k})a_{kj}\right]b_j(0)$$
?当前最优的前一个状态$$Pre(s_{3,j})=arg\underset{1\le k\le 3}{\max }\left[P(s_{2,k})a_{kj}\right]$$，$j=1,2,3.$

P ( s 3 , 1 ) = m a x { 0.028 × 0.5 × 0.5 , 0.0504 × 0.3 × 0.5 , 0.042 × 0.2 × 0.5 } P(s_{3,1})=max\left\{ 0.028\times0.5\times0.5, 0.0504\times0.3\times0.5,0.042\times0.2\times0.5 \right\} P(s3,1?)=max{0.028×0.5×0.5,0.0504×0.3×0.5,0.042×0.2×0.5}$=0.00756$

$Pre(s_{3,1})=s_{2,2}=q_2$

P ( s 3 , 2 ) = m a x { 0.028 × 0.2 × 0.4 , 0.0504 × 0.5 × 0.4 , 0.042 × 0.3 × 0.4 } P(s_{3,2})=max\left\{ 0.028\times0.2\times0.4, 0.0504\times0.5\times0.4, 0.042\times0.3\times0.4 \right\} P(s3,2?)=max{0.028×0.2×0.4,0.0504×0.5×0.4,0.042×0.3×0.4}$=0.01008$

$Pre(s_{3,2})=s_{2,2}=q_2$

P ( s 3 , 3 ) = m a x { 0.028 × 0.3 × 0.7 , 0.0504 × 0.2 × 0.7 , 0.042 × 0.5 × 0.7 } P(s_{3,3})=max\left\{ 0.028\times0.3\times0.7,0.0504\times0.2\times0.7,0.042\times0.5\times0.7 \right\} P(s3,3?)=max{0.028×0.3×0.7,0.0504×0.2×0.7,0.042×0.5×0.7}$=0.0147$

$Pre(s_{3,3})=s_{2,3}=q_3$

(4)得到结果.
?最大概率
??$P^{?}={\max }_{1\le j\le 3}P\left(s_{3,j}\right)$
??? = m a x { 0.00756 , 0.01008 , 0.0147 } =max\left\{ 0.00756,0.01008,0.0147 \right\} =max{0.00756,0.01008,0.0147}
???$=0.0147$
?最优状态序列
??$S^{?}=\left(Pre(s_2^{?})t,Pre(s_3^{?}),s_3^{?}\right)$
???$=\left(s_{1,3},s_{2,3},s_{3,3}\right)$
???$=\left(q_3,q_3,q_3\right)$

4.python实现

对上述HMM维特比解码示例的python实现程序为

import numpy as np

def viterbi(pi, A, B, Q, V, obs_seq):
    '''
    :param pi:HMM初始状态概率向量，list类型
    :param A:HMM状态转移概率矩阵，list类型
    :param B:HMM观测生成概率矩阵，list类型
    :param Q:状态集合，list类型
    :param V:观测集合，list类型
    :param obs_seq:观测序列，list类型
    :return:最优状态序列的概率sta_pro，float类型；最优状态序列sta_seq，list类型
    '''

    # HMM模型参数转换为array类型
    pi = np.array(pi)
    A = np.array(A)
    B = np.array(B)

    # 1.定义动态计算结果存储矩阵
    rowNum = len(Q)  # 行数，状态数
    colNum = len(obs_seq)  # 列数，生成的观测数，即时刻数

    # 存储节点当前最大概率的矩阵
    probaMatrix = np.zeros((rowNum,colNum))

    # 存储当前最优路径下的前一个节点的矩阵
    preNodeMatrix = np.zeros((rowNum,colNum))

    # 2.初始化（第1时刻）
    probaMatrix[:,0] = pi*np.transpose(B[:,obs_seq[0]])
    preNodeMatrix[:,0] = [-1]*rowNum  # 第1时刻节点的前一个节点不存在，置为-1

    # 3.递推，第2时刻至最后
    for t in range(1, colNum):
        list_pre_max_proba = []  # 节点最大前置概率列表
        list_pre_node = []  # 节点当前最优路径中前一个节点列表
        for j in range(rowNum):
            pre_proba_list = list(np.array(probaMatrix[:,t-1])*np.transpose(A[:,j]))  # 前置概率列表，前一时刻的节点最大概率与到当前节点转移概率的乘积
            '''
            注：因为计算机的二进制机制对小数的表达是有限的，所以对小数作运算将产生一定的误差。
            在使用函数获取pre_proba_list中的最大值和对应的索引时，为有效降低这种误差，将数据放大后再进行操作。
            '''
            pre_proba_list = [x*pow(10,5) for x in pre_proba_list]  # 放大100000倍
            prePro = max(pre_proba_list)/pow(10,5)  # 最大前置概率
            preNodeIndexNum = pre_proba_list.index(max(pre_proba_list))  # 前置节点的索引号
            list_pre_max_proba.append(prePro)  # 最大前置概率加入列表
            list_pre_node.append(preNodeIndexNum)  # 前置节点的索引号加入列表

        probaMatrix[:,t] = np.array(list_pre_max_proba)*np.transpose(B[:,obs_seq[t]])  # 最大前置概率乘上观测概率，即为当前最大概率
        preNodeMatrix[:,t] = list_pre_node  # 将该列前置节点索引号加入矩阵

    # 此时，得到了完整的probaMatrix和preNodeMatrix，对这两个矩阵进行操作便可得到需要的结果
    # 4.得到最大概率
    maxPro = np.max(probaMatrix[:, colNum-1])  # 全局最大概率（即最后一列的最大值）

    # 5.得到最优状态序列的状态索引号列表
    lastStateIndexNum = np.argmax(probaMatrix[:, colNum-1])  # 最优状态序列中最后一个状态的索引号
    stateIndexList = []  # 定义最优状态的索引号列表
    stateIndexList.append(lastStateIndexNum)

    # 回溯，完成状态索引号列表
    currentIndex = lastStateIndexNum;
    for t in range(colNum-1, 0, -1):
        fls = preNodeMatrix[:, t].tolist()  # 矩阵中的数值是浮点型
        ls = list(map(int, fls))  # 转为整型
        currentIndex = ls[currentIndex]
        stateIndexList.append(currentIndex)

    stateIndexList.reverse()  # 反转列表

    # 6.由索引号序列得到最优状态序列
    stateSeq = [Q[i] for i in stateIndexList]

    return maxPro,stateSeq

if __name__=='__main__':
    # 状态集合
    Q = ["q1", "q2", "q3"]

    # 观测集合
    V = [0, 1]

    # 初始状态概率向量
    pi = [0.2, 0.4, 0.4]

    # 状态转移概率矩阵
    A = [[0.5, 0.2, 0.3],
         [0.3, 0.5, 0.2],
         [0.2, 0.3, 0.5]]

    # 观测概率矩阵
    B = [[0.5, 0.5],
         [0.4, 0.6],
         [0.7, 0.3]]

    # 观测序列
    obs_seq = [0, 1, 0]

    maxPro, stateSeq = viterbi(pi, A, B, Q, V, obs_seq)

    print("最大概率为：", maxPro)
    print("最优状态序列为：", stateSeq)

End.

参考

1. 吴军. 数学之美(第二版). 人民邮电出版社.
2. 李航. 统计学习方法. 清华大学出版社.
3. https://www.cnblogs.com/zhibei/p/9391014.html