完全二叉树的节点个数

描述

给你一棵完全二叉树的根节点 root ，求出该树的节点个数。

完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~?2h?个节点。

示例 1

输入：root = [1,2,3,4,5,6]
输出：6

示例 2

输入：root = []
输出：0

示例 3

输入：root = [1]
输出：1

提示

树中节点的数目范围是? $[0, 5 * 10^4]$
$0 \le Node.val \le 5 * 10^4$
题目数据保证输入的树是完全二叉树

进阶：遍历树来统计节点是一种时间复杂度为 O(n) 的简单解决方案。你可以设计一个更快的算法吗？

方法：递归优化

常规的遍历我们就不写了。

首先我们要知道满二叉树如果层数为n，其节点个数为 ${\color{Red} {\color{Red} }2^n-1}$ 。我们肯定可以将一个完全二叉树分了几个满二叉树来组成，比如：

利用完全二叉树的性质，本题可以使用更巧妙的写法，我们对当前节点root的左右子树统计高度，左子树高度为left，右子树高度为right，此时有两种情况：

left==right：此时右子树和左子树层数相同，那么证明左子树为满二叉树，所以我们当前节点root包含的节点数有2^left-1+1+右子树个数，即2^left+右子树个数
left!=right：此时右子树和左子树层数不同，那么此时右子树一定为满二叉树，因为如果右子树不满的话，左右子树的层数相差会大于1不满足满二叉树的定义，此时root包含的节点数有2^right-1+1+左子树个数，即2^right+右子树个数

class Solution {
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if(root == null) return 0;
        int leftDepth = getDepth(root.left);
        int rightDepth = getDepth(root.right);
        if (leftDepth == rightDepth) {// 左子树是满二叉树(2^leftDepth)，右子树不是
            return (1 << leftDepth) + countNodes(root.right);// 2^leftDepth其实是(2^leftDepth-1)+1，左子树+根结点
        } else {//右子树是满二叉树，左子树不是
            return (1 << rightDepth) + countNodes(root.left);
        }
    }

    private int getDepth(TreeNode root) {
        int depth = 0;
        while (root != null) {
            root = root.left;
            depth++;
        }
        return depth;
    }
}