[数据结构与算法] CSI笔记【10】：阵列信号处理及MATLAB实现（第2版）阅读随笔(二)

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[数据结构与算法]CSI笔记【10】：阵列信号处理及MATLAB实现（第2版）阅读随笔(二)

Chapter3 波束形成

(1).波束形成的定义：

虽然阵列天线的方向图是全方向的，但阵列的输出经过加权求和后，却可以被调整到阵列接收的方向，即增益聚集在一个方向，相当于形成了一个“波束”。这就是波束形成的物理意义所在。

波束形成技术的基本思想是：通过将各阵元输出进行加权求和，在一段时间内将天线阵列波束“导向”到一个方向，对期望信号得到最大输出功率的导向位置，即给出波达方向估计。

(2).波束形成的准则：

由于传统的常规波束形成法分辨率较低，这促使科研人员开始对高分辨波束形成技术进行探索，自适应波束形成算法很快就成了研究热点。自适应波束形成在某种最有准则下通过自适应算法来实现权集寻优，它能适应各种环境的变化，实时地将权集合调整到最佳位置附近。

波束形成算法是在一定准则下综合各输入信息来计算最优权值的数学方法。这些准则中最重要、最常用的如下：

最大信噪比准则 $(M S N R)$ ：使期望信号分量功率与噪声分量功率之比最大，但是必须知道噪声的统计量和期望信号的波达方向。
最大信干噪声比准则 $(M S I N R)$ ：使期望信号功率与干扰功率及噪声分量功率之和的比最大。
最小均方误差准则 $(M M S E)$ ：在非雷达应用中，阵列协方差矩阵中通常都含有期望辛哈，基于此种情况提出了该准则。使阵列输出与牟岐王响应的均方误差最小，不需要知道期望信号的波达方向。
最大似然准则 $(M L H)$ ：在对有用信号完全先验未知的情况下，参考信号午发设置，因此，在干扰背景下，首先要取得对有用信号的最大似然估计。
线性约束最小方差准则 $(L C M V)$ ：对有用信号形式和来向完全未知，在某种约束条件下使阵列输出的方差最小。

可以证明，在理想情况下这几种准则得到的权是等价的，且可写成通式 $\omega_{opt}=R_H^{-1}a(\theta_d)$ ，通常为维纳解。其中， $a(\theta_d)$ 是期望信号的方向函数，亦成约束导向向量， $R_H$ 是不含期望信号的阵列协方差矩阵。

(3).波束形成算法：

①.自适应波束形成算法

自适应研究的重点一直是自适应算法，经典的自适应波束形成算法大致可分为闭环算法（或者反馈控制方法）和开环算法（也称直线求解方法）。一般而言，闭环算法比开环算法要简单，实现方便，但其收敛速度受到系统稳定性要求的限制。开环算法是一种直接求解方法，不存在收敛问题，可提供更快的暂态响应性能，但同时也受到处理精度和阵列协方差矩阵求逆运算量的控制。

自适应波束形成的最佳权向量（包括“最小均方误差（MMSE）方法”和“最小二成（LS）方法”）；
权向量更新的自适应算法；
自适应阵列的最佳权向量的确定需要求解方程，一般来说，并不希望直接求解方程，其理由如下：
①.由于移动用户环境是时变的，所以权向量的解必须能及时更新。
②.由于估计最佳解需要的数据是含噪声的，所以希望使用一种更新技术，它能够利用已求出的权向量求平滑最佳响应的估计，以为=减小噪声的影响。
因此，希望使用自适应算法周期更新权向量。
基于变换域的自适应波束形成算法；

②.广义旁瓣相消（GSC）的波束形成算法

广义旁瓣相消器是"LCMV"一种等效的实现结构，"GSC"结构将自适应波束形成的约束优化问题转换为无约束的优化问题，分为自适应和非自适应两个支路，分别称为辅助支路和主支路，要求期望信号只能从非自适应的主支路通过，而自适应的辅助支路仅含有干扰和噪声分量。

③.基于投影的波束形成算法

$E B S$ 波束形成算法；
$E B S$ 改进算法 $(I E S B)$ ；

④.基于斜投影的波束形成算法

对接收信号进行斜投影可有效消除干扰，进而提高波束形成的稳健性，而且该算法在少快拍数和相干信源情况下仍具有较好的波束形成性能。

⑤.过载情况下的自适应波束形成算法—近似最小方差法波束形成算法

由于传统的波束形成算法要求信源数小于或等于阵元数，如果信源数大于阵元数（过载的情况下），一般算法性能就会下降。而近似最小方差波束形成算法就可适用于过载情况。

⑥.基于高阶累积量的波束形成算法

高阶积累量包含丰富的信息，并且能有效抑制高斯噪声、提取有用的非高斯信号。基于高阶累积量的盲波束形成算法首先利用高阶累积量能有效提取非高斯信号地特性，估计出期望信号的方向向量，而后在此基础上再进行"LCMV"自适应最佳波束形成，该算法对阵列误差具有稳健性。

⑦.基于周期平稳性的波束形成算法

高阶积累量方法虽然能够有效地提取非高斯信号，抑制高斯干扰信号，但是当干扰也是非高斯信号的时候，高阶积累量方法将难以奏效，这是高阶积累量盲波束形成算法本身的局限性所在。实际上，大多数人为设计的信号都是周期平稳信号，"CAB"类算法可以有效地提取期望信号，抑制相邻信号干扰。"CAB"类盲波束形成算法首先利用期望信号的周期平稳特性估计出相应的期望信号阵列方向向量，进而利用"MVDR"算法求解最佳权向量。期望信号与干扰信号不相关，这是"CAB"类算法有效性的基础。

$C A B$ 算法；
$C ? C A B$ 算法；
基本的"CAB"算法实际上仅估计了期望信号方向向量，可以直接用来进行空域匹配滤波处理，但为了达到最佳阵处理，还需要对干扰进行有效已知。"C-CAB"算法是在"CAB"算法的基础上采用"MVDR"算法来已知干扰的。
$R ? C A B$ 算法；
在 "C-CAB"算法的基础上采用传统的对角线加载技术来改善与提高算法的稳健性，就是所谓的 "R-CAB"算法。

⑧.基于恒模的盲波束形成算法

随机梯度恒模算法；
恒模信号在经历了多径衰落、加性干扰或其它不利因素时，会产生幅度扰动破坏信号的恒模特性，因此可以利用恒模阵波束形成器来最大程度地恢复恒模信号。
最小二乘恒模算法 $(L S ? C M A)$ ；
最小二乘恒模算法使用了非线性最小二乘（高斯法）的推广来设计恒模算法。

⑨.稳健自适应波束形成

自适应波束形成器对于模型误差具有敏感性。为了降低自适应波束形成器对模型误差的敏感程度，众多研究者在增强自适应波束形成器的稳健性方面做了许多工作。在模型失配条件下，仍能自适应地调整波束形成器权向量以保证良好输出性能的一类波束形成器称为稳健自适应波束形成器。对稳健自适应波束形成器的要求是，在可容许的模型失配情况下，稳健自适应波束形成器的性能不应退化到传统波束形成器的性能之下。

对角加载方法；
在众多稳健的自适应波束形成方法中，对角加载是一种最常见的方法。此方法通过对 $C a p o n$ 最小方差问题进行正则化处理来实现，即通过对优化问题的目标函数加上一个二次型惩罚项来实现。
基于特征空间的方法；
基于特征空间的自适应波束形成算法，对于由任何原因导致的导向向量不确定性都具有很好的稳健性。此方法的关键是使用期望信号导向向量在信号—干扰子空间上的投影，而不是直接使用期望信号的导向向量。
贝叶斯方法；
贝叶斯方法能在阵列接收信号和波达方向的先验信息之间实现一种平衡。在低 $S N R$ 条件下，波束形成器更依赖于波达方向的先验信息，而在高 $S N R$ 条件下，波束形成器更依赖于阵列的接收信号。
基于最坏情况性能优化的方法；
改方法的设计目标是，在期望信号所有可能的导向向量都能无衰减地通过自适应波束形成器地基础上，实现干扰—噪声地输出功率最小化。
基于概率约束的方法；
在实际应用中，最坏情况发生的概率是非常小的。因此，基于最坏情况性能优化方法设计的自适应波束形成器是非常保守的。为了使波束形成器的设计更为灵活， $V o r o b y o v$ 等人提出了一种基于概率约束的稳健自适应波束形成方法，其主要思想是仅让那些发生概率充分大的导向向量无衰减地通过自适应波束形成器，而不用去满足所有可能发生的导向向量。

Chapter4 DoA估计

阵列信号处理的另一个基本问题是空间信号"DoA"估计，也就是雷达、声纳等许多领域的重要任务之一。利用阵列天线对"DoA"估计的方法主要有"ARMA"谱分析、最大似然法、熵谱分析法和特征分解法等。

(1).Capon算法：

考虑一个由 $M$ 个传感器构成的阵列被 $K$ 个窄带信号源鼓励。那么 $(M\times1)$ 维传感器阵列输出向量 $x (t)$ 可用以下等式表示：
$x (t) = A s (t) + e (t)$
其中， $s (t)$ 是在一定参考点测量的 $K\times1$ 维源信号向量， $e (t)$ 是加性噪声，并且
$A=[a(\theta_1),\cdot\cdot\cdot,a(\theta_K)]\in\mathbb{C}^{M\times K}\ \ \ \ \ (1)$
在式 $(1)$ 中， $\theta_K$ 是"DoA"估计值， ${a(\theta_K)}$ 为方向向量。假设 $M > K$ 并且矩阵 $A$ 拥有满秩 $K$ ，另外假设 $s (t)$ 和 $e (t)$ 为独立零均值高斯随机分布，并且满足
$E\{s(t)s^H(s)\}=P\delta_{t,s}\\ E\{s(t)s^T(s)\}=0\\ E\{e(t)e^H(s)\}=\sigma^2I\delta_{t,s}\\ E\{e(t)e^H(s)\}=0\\ \ \ \ \ \ (2)$
其中， $\delta_{t,s}$ 表示冲激函数（当 $t = s$ 时，其值为 $1$ ；当 $t\neq s$ 时，其值为 $0$ ）。

"Capon"算法的"DoA"估计值 ${\theta_K}$ 由以下函数取极小值时的 ${\hat{\theta}}_K$ 决定：
$f(\theta)=a^H(\theta)\hat{R}^{-1}a(\theta)\ \ \ \ \ (3)$
其中， $\theta$ 表示 "DoA" 变量， $\hat{R}$ 是样本的协方差矩阵：
$\hat{R}=\frac{1}{N}\sum_{t=1}^Nx(t)x^H(t)$

$s t e p 1 .$ 利用式 $\hat{R}=\frac{1}{N}\sum_{t=1}^Nx(t)x^H(t)$ 计算接收信号协方差矩阵。
$s t e p 2 .$ 通过对 $1/[a^H(\theta)\hat{R}^{-1}a(\theta)]$ 进行谱峰搜索，找到峰值，即得到 $D o A$ 估计。这里需要注意的是，在式 $(2)$ 的假设下，阵列输出的理论协方差矩阵可以表示为：
$R\triangleq E\{x(t)x^H(t)\}=APA^H+\sigma^2I$
"Capon"算法和“线性预测（Linear Prediction，LP）”算法有一定的联系，这种联系对于下面的内容有重要意义，现简要描述。假设 $\hat{\beta}_m$ 表示以第 $m$ 个传感器作为参考应用“LP算法”从传感器阵中获得的向量数据 $(\hat{\beta}_{m,n}=1)$ ，并且令 $\hat{d}_m$ 表示模型样本的剩余方差。那么式 $(3)$ 也可以表示为
$f(\theta)=\sum^M_{m=1}\frac{|\hat{\beta}^H_ma(\theta)|^2}{\hat{d}_m}$

"Capon"估计比"LP"估计产生的统计误差要小。然而，和 $M$ 阶 $L P$ 估计相比，"Capon"估计有低分辨率。

(2).MUSIC算法：

详见：CSI笔记【8】：基于MUSIC Algorithm的DoA/AoA估计以及MATLAB实现.

(3).最大似然算法：

在信号处理中，最著名和最常用的建模方法是最大似然法。根据源信号（输入序列）模型假设的不同，基于最大似然的波达方向估计方法分为"确定性最大似然（Deterministic ML, DML）"和"随机性最大似然（Stochastic ML, SML）"法两大类型。随机性最大似然法也称"统计最大似然法"。