[数据结构与算法]dfs和dp解决不同路径问题

62. 不同路径 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

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如题：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于?2 * 10

思路一：dfs

理解为二叉树，相当于遍历每个二叉树的分支，最终求得叶子结点。

此题比起一般dfs而言，只有两个方向，简单遍历深搜即可。

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class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        return dfs(1, 1, m, n);
    }
    int dfs(int i, int j, int m, int n) {
        if (i > m || j > n) return 0;
        if (i == m && j == n) return 1;
        return dfs(i + 1, j, m, n) + dfs(i, j + 1, m, n);
    }
};

然而，你会发现虽然能运行，但时间复杂度似乎过于高了，二叉树深度为（m+n-1)，搜索每个分支，近似遍历了一整个二叉树，复杂度高达O(2^(m+n-1)-1)，属实绷不住了，力扣提交后你会发现可能会超时。

别灰心，还有思路二。

思路二：dp

所谓dp就是动态规划，话不多说，直接上代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

首先dp[i][j]表示从（0，0）出发，到（i，j）有dp[i][j]种不同路径。

那么确定好了dp数组后，就开始初始化，不难看出，dp[i][0]和dp[0][j]都应该是放1（最外面的边界很明显只有一条路可以到达，不然你还想往回走？），知道了这个，在结合dp递推公式，我们可以写出

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];

很简单是不是？复杂度为O(m*n)，比起指数级好太多太多了。

拿去超过百分之百的用户吧。

就思路二而言，我们还可以优化一下，不用二维数组，而是改为一维数组：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> dp(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) dp[i] = 1;
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                dp[i] += dp[i - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

总之重要的是方法，而不是代码。