[数据结构与算法]【算法】二分查找

概念

二分查找（Binary Search）是一种效率较高的查找方式，它的时间复杂度为O(logn)。

二分查找要求数组按关键字有序排列，并设置两个指针left和right分别指向数组的开头和末尾，每次查找left和right的中间项[mid]。

设数组非递减排列：

1. 若目标值target等于中间项[mid]，则找到元素；
2. 若目标值target小于中间项[mid]，则前往当前范围的左半部分查找，将right置为mid-1；
3. 若目标值target大于中间项[mid]，则前往当前范围的右半部分查找，将left置为mid+1；
4. 若指针left跑到了right的右边，代表数组已查询完毕，且数组中没有目标值。由此可得循环的结束条件为left>right。

要点

1. 请牢记二分查找算法的时间复杂度为O(log₂n)

2. 二分查找要求线性表必须以顺序结构存储，并且表中元素按关键字有序排列。

3. 二分查找一般设置2个指针，一个指针left指向数组开头，另一个指针right指向数组末尾。查找循环的有效条件为left<=right。

   /* C++ */
   // n为数组长度
   for(int left=0, right=n-1;left<=right;) {...}
   

4. 每次循环需要对left和right中间一位进行判断。以C++为例，由于除法运算符/会将整数除法结果自动舍去小数点，因此每次的目标为left和right的中间位（right-left结果为偶数）或中间偏左一位（right-left结果为奇数）。

   中间位mid的计算有两种方式：

   /* C++ */
   // n为数组长度
   // int left = 0;
   // int right = n - 1;
   ?
   /* 式1 */
   int mid = (right + left) >> 1;
   或
   /* 式2 */
   int mid = ((right - left) >> 1) + left;
   

   将式1转化为数学公式如下：
   $$mid=\frac{left}{2}+\frac{right}{2}$$
   式1非常易懂，将两数相加除以2即为他们的中位数。但是这个写法已经这么简单了，为什么还会出现式2呢？

   原因是1式会产生数值溢出。我们粗暴一点，假设当前left和right皆为INT_MAX，即7FFFFFFFH，则两数相加就超出了int能表示的范围上限，最终mid的值就不正确了。将式2转换为数学公式如下：
   $$mid=\frac{right}{2}?\frac{left}{2}+left$$

   可以看到只是进行了一次简单的改变，但式2是不会出现数值溢出问题的。

   当然1，在Python等语言中基本上是不会出现这种问题的，可以不用考虑。不过以这些语言为主力语言的小伙伴了解一下这个问题还是有益的。

   当然2，你要这么写也没人拦你（也确实能出正确结果：

   /* C++ */
   int mid = (long long(left) + long long(right)) >> 1;
   

   但万一left和right本身就是双长整型的最大值呢？即使mid定义为long long最终也会产生数值溢出的。所以无论怎样还是要用到式2的。

5. left和right在什么时候变化可能会根据实际情况改变，这里仅记录最基础的改变时机。

   /* C++ */
   for (int left = 0, right = n - 1; left <= right;)
   {
       int mid = ...;
       if (target == nums[mid])
           return mid;
       else if (target < nums[mid])
           right = mid - 1;
       else
           left = mid + 1;
   }
   

6. 二分查找不仅可以用于查找确切值，还能查找到比某个数大，或比某个数小的临界位置。

   （这里指的当然不是找到那个数target然后左边就比它小，右边就比它大的这种显而易见的问题。）

   在基础的算法结构上修改一些细节即可达到此目的。 参考案例[278. 第一个错误的版本]和以下案例：

   /* C++ */
   // 查找数组nums（升序排列）中第一个大于target的值。
   int left = 0, right = nums.size() - 1;
   int sub = nums.size();
   while (left <= right)
   {
       int mid = ((right - left) >> 1) + left;
       if (target < nums[mid])
       {
           sub = mid;
           right = mid - 1;
       }
       else
       {
           left = mid + 1;
       }
   }
   // 此时sub为数组nums中第一个比target的值的下标
   

   • 若target<nums[mid]，则代表中间项大于target，第一个比target大的值要么在该项之前，要么就是它自身。由于没有变量能够，因此需要一个额外的变量sub存放当时的mid，并且置right为mid-1。

   • 若target>=nums[mid]，则代表中间项小于target，第一个比target大的值必定在该项之后，因此我们将left置为mid+1。

   上述代码在循环结束后，sub为数组nums中第一个比target的值的下标。