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树的概念及结构
树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。?注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
?树的相关概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
树的表示树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。typedef int DataType; struct Node { struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点 DataType data; // 结点中的数据域 };?
?树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）
?二叉树概念及结构
概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成?从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
?现实中的二叉树：
?特殊的二叉树：
1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有N0 ＝N2 ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(n+1)?(ps： 是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
?二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程
学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链.
?
typedef int BTDataType; // 二叉链 struct BinaryTreeNode { struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子 BTDataType data; // 当前节点值域 } // 三叉链 struct BinaryTreeNode { struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲 struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子 BTDataType data; // 当前节点值域 }；二叉树的顺序结构及实现
二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
关于堆的一些介绍我们在前文中提到过
构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。?二叉树链式结构的实现
二叉树是：
1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的
?从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
二叉树的遍历
前序、中序以及后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉
树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历
是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。
按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：
1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为
根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历
?// 二叉树前序遍历 void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) { if (root == NULL) { printf("NULL "); return; } else { printf("%d ", root->data); BinaryTreePrevOrder(root->left); BinaryTreePrevOrder(root->right); } } // 二叉树中序遍历 void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) { if (root == NULL) { prinft("NULL "); return; } else { BinaryTreePrevOrder(root->left); printf("%d ", root->data); BinaryTreePrevOrder(root->right); } } // 二叉树后序遍历 void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) { if (root == NULL) { prinft("NULL "); return; } else { BinaryTreePrevOrder(root->left); BinaryTreePrevOrder(root->right); printf("%d ", root->data); } }?前序遍历递归图解：
?
前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 后序遍历结果：3 1 5 6 4 1层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在
层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
// 层序遍历 void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) { if (root == NULL) { return; } Queue q; QueueInit(&q); QueuePush(&q,root); while (!QueueEmpty(&q)) { BTNode* front = QueueFront(&q); QueuePop(&q); printf("%d", front->data); //孩子带进队列 if (front->left) QueuePush(&q, front->left); if (front->right) QueuePush(&q, front->right); } printf("\n"); QueueDestroy(&q); }?节点个数以及高度等
二叉树节点个数
// 二叉树节点个数 int BinaryTreeSize(BTNode* root) { if (root == NULL) return 0; return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1; }二叉树叶子节点个数?
// 二叉树叶子节点个数 int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) { if (root == NULL) return 0; if (root->left == NULL && root->right == NULL) return 1; return BinaryTreeLeafSize(root->left)+BinaryTreeLeadSize(root->right); }二叉树高度?
//二叉树高度 int BinaryTreeDepth(struct TreeNode*root) { if(root==NULL) return 0; int left=treehigh(root->left); int right=treehigh(root->right); return left>right?left+1:right+1; }二叉树第K层节点个数?
// 二叉树第k层节点个数 int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) { if (root == NULL) return 0; if (k == 1) return 1; return BinaryTreeLeveKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLeveKSize(root->right, k - 1); }?二叉树查找值为x的节点
// 二叉树查找值为x的节点 BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) { if (root == NULL) return NULL; if (root->data) return root; BTNode* left = BinaryTreeFind(root->left, x); if (left) return left; BTNode* right = BinaryTreeFind(root->right, x); if (right) return right; return NULL; }二叉树的创建和销毁
// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树 BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi); // 二叉树销毁 void BinaryTreeDestory(BTNode** root); // 判断二叉树是否是完全二叉树 int BinaryTreeComplete(BTNode* root);?通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树 BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* i) { if (a[*i] == '#') { (*i)++; return NULL; } BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode)); root->data = a[(*i)++]; root->left = BinaryTreeCreat(a, n, i); root->right = BinaryTreeCreat(a, n, i); return root; }二叉树销毁?
// 二叉树销毁 void BinaryTreeDestroy(BTNode** root) { if (*root) { BinaryTreeDestory(&(*root)->left); BinaryTreeDestroy(&(*root)->right); free(*root); *root = NULL; } } //void BinaryTreeDestory(BTNode* root) //{ // if (root == NULL) // { // return; // } // BinaryTreeDestory(root->left); // BinaryTreeDestory(root->right); // free(root); //}判断二叉树是否是完全二叉树
//判断二叉树是否是完全二叉树 bool binarytreecomplete(BTNode* root) { Queue q; QueueInit(&q); QueuePush(&q, root); while (!QueueEmpty(&q)) { BTNode*front =QueueFront(&q); QueuePop(&q); if (front) { QueuePush(&q,front->left); QueuePush(&q,front->right); } else { break; } } // 遇到空了以后，检查队列中剩下的节点 // 1、剩下全是空给，则是完全二叉树 // 2、剩下存在非空，则不是完全二叉树 while (!QueueEmpty(&q)) { BTNode* front = QueueFront(&q); QueuePop(&q); if (front) { QueueDestroy(&q); return false; } } QueueDestroy(&q); return true; }
