[数据结构与算法]PID算法-理论分析

连续PID算法

• 典型PID算法框图

• r(t)：设定状态量
• y(t)：实际状态量
• e(t)：当前误差
• u(t)：控制 器输出

P-比例环节

$$u_p(t)=Kp?e(t)=Kp[r(t)?y(t)]$$

• 当误差存在时才会输出up(t)
• 比例调节的过程就是即时成比例地反应控制系统的偏差信号e(t)。偏差一旦产生，通过Kp*e(t)产生控制作用以减小偏差
• 若误差e(t)=0，则up(t)=0。而在现实中，没有输出的受控对象是不稳定的，所以单独的P调节时钟会存在误差
• 设定值与实际值之间总会存在一定的偏差，称之为静差

P-减小偏差

比例环节是对偏差的直接增益，如果只使用比例环节，系统会存在静差

I-积分环节

$$u_i(t)=Ki?{\int }_0^{t}e(t)dt$$

• 积分环节的输出ui(t)根系统的误差e(t)累加和有关
• 当系统存在误差，积分环节将误差累加后就会起调节作用，直到误差为0后控制器稳定输出
• 积分环节可以消除系统的比例环节稳态误差，消除静差
• 一般常用PI调节：up(t)+ui(t)，使得实际状态量=设定状态量

I-消除静差

积分环节主要是用来消除静差的，积分环节实际上是偏差累计的过程。将一个小的偏差累积到足以使控制系统执行动作，也就可以消除掉静差。所以，积分环节就是把累计的误差加到系统上以抵消的静差

D-微分环节

$$u_d(t)=Kd?\frac{de(t)}{dt}$$

• 微分环节的输出ud(t)跟系统的误差变化率有关
• 根据现在的趋势去判断未来，进而来阻碍未来可能出现过调的趋势（阻尼作用）

D-超前调节

微分信号则反应了偏差信号的变化规律（变化趋势），根据这个趋势来进行超前调节，从而增加系统的快速性

连续PID公式

$$u(t)=u_p(t)+u_i(t)+u_d(t)=Kp?e(t)+Ki?{\int }_0^{t}e(t)dt+Kd?\frac{de(t)}{dt}$$

离散PID算法

• 连续系统的PID算法实际上是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差来计算控制量。而在计算机系统中，需要对公式进行离散化，具体就是用求和代替积分，用向后差来代替微分，使模拟PID离散化为数字形式的差分方程

• 接下来对连续PID各环节进行离散化，设采样间隔为T，则在KT时刻

P-比例环节

$$e(k)=r(k)?y(k)$$

I-积分环节

$${\int }_0^{k}e(k)dk=e(0)+e(1)+...+e(k?1)+e(k)$$

D-微分环节

$$\frac{de(t)}{dt}=\frac{e(k)?e(k?1)}{T}$$

离散化PID公式

$$u(k)=Kp?[r(k)?y(k)]+Ki?[e(0)+e(1)+...+e(k?1)+e(k)]+Kd?\frac{e(k)?e(k?1)}{T}$$