[数据结构与算法] 金融过程的模拟（一）：CIR 过程的模拟

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[数据结构与算法]金融过程的模拟（一）：CIR 过程的模拟

????????CIR过程（平方根扩散过程）是一类均值回归过程，它由Cox、Ingersoll和Ross（1985）提出，在金融中常用于建立短期利率或者波动性过程的模型。它的SDE公式如下：

$dx_t=k(\theta-x_t)dt+\sigma\sqrt{x_t}dB_t$

????????其中， $x_t$ 代表t时刻的短期利率水平，k代表均值回归的速度( the speed of mean reversion), $\theta$ 代表了长期均值水平（long-term mean）， $\sigma$ 恒定波动率(volatility)。

????????CIR过程相比于OU过程的一个好处是利率能保持非负(满足一定条件下，严格大于零)。

????????本文大致分为以下三个部分: 1. CIR过程的精确格式模拟；2. CIR的近似格式模拟；3.两种格式的比较。

1. CIR过程的精确模拟

????????CIR过程中的x_t的转移概率服从非中心化的卡方过程，所以CIR的精确离散化公式如下:

$x_t=\frac{\sigma^2(1-e^{-k\Delta t})}{4k}\chi^2(\frac{4ke^{-k\Delta t}}{\sigma^2(1-e^{-k\Delta t})}x_{t-1})$

? ? ? ? python代码如下：

def CIR_simulation_exact():
    x = np.zeros((M+1,I))
    x[0] = x0
    for t in range(1, M+1):
        df = 4 * theta * kappa / sigma ** 2
        c = (sigma**2 * (1 - np.exp(-kappa*dt))) / (4 * kappa)
        nc = np.exp(-kappa * dt) / c * x[t-1]
        x[t] = c * npr.noncentral_chisquare(df, nc, size = I)
    return x

????????我们设置k=3,theta=0.02,sigma=0.1,X_0=0.04,T=1.0,dt=T/1000,产生了10000条模拟路径(后面实验的参数都一样),则在t=T时的直方图如下：

?????????选取前10条路径如下：

????????综上，可以看出CIR呈现负的漂移(因为初值X_0=0.04>theta=0.02)，并均值复归于0.02。 ?

2. CIR过程的近似模拟

????????我们采用欧拉离散化格式即

$x_t=x_{t-1}+k(\theta-x_{t-1})\Delta t+\sigma\sqrt{x_{t-1}}\sqrt{\Delta t}\epsilon_t$

????????其中 $\epsilon_t$ 服从相互独立的标准正态分布，且为保证 $x_t$ 非负，我们取 $x_t=max\{0,x_t\}$ 。

? ? ? ? python代码如下:

def CIR_simulation_euler():
    xh = np.zeros((M+1,I))
    x = np.zeros_like(xh)
    xh[0] = x0
    x[0] = x0
    for t in range(1, M+1):
        xh[t] = (xh[t-1] + 
                 kappa*(theta - np.maximum(xh[t-1],0))*dt + 
                 sigma * np.sqrt(np.maximum(xh[t-1],0)) * math.sqrt(dt) * npr.standard_normal(I))
    x = np.maximum(xh,0)
    return x

? ? ? ? 与1中相同，产生10000条模拟路径，结果如下：