[数据结构与算法]何为二叉树？

一.概念

是每个节点最多有两个子树的树结构，被称作左子树和右子树；被用于实现二叉查找树和二叉堆；二叉树的每个结点至多只有二棵子树；二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

二.实图

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三.类型

满二叉树

如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树。

图 2 满二叉树示意图

如图 2 所示就是一棵满二叉树。

满二叉树除了满足普通二叉树的性质，还具有以下性质：

1. 满二叉树中第 i 层的节点数为 2n-1?个。
2. 深度为 k 的满二叉树必有 2k-1 个节点 ，叶子数为 2k-1。
3. 满二叉树中不存在度为 1 的节点，每一个分支点中都两棵深度相同的子树，且叶子节点都在最底层。
4. 具有 n 个节点的满二叉树的深度为 log2(n+1)。

完全二叉树

如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。

图 3 完全二叉树示意图

如图 3a) 所示是一棵完全二叉树，图 3b) 由于最后一层的节点没有按照从左向右分布，因此只能算作是普通的二叉树。

完全二叉树除了具有普通二叉树的性质，它自身也具有一些独特的性质，比如说，n 个结点的完全二叉树的深度为 ?log2n?+1。

?log2n? 表示取小于 log2n 的最大整数。例如，?log24? = 2，而 ?log25? 结果也是 2。

对于任意一个完全二叉树来说，如果将含有的结点按照层次从左到右依次标号（如图 3a)），对于任意一个结点 i ，完全二叉树还有以下几个结论成立：

1. 当 i>1 时，父亲结点为结点 [i/2] 。（i=1 时，表示的是根结点，无父亲结点）
2. 如果 2*i>n（总结点的个数） ，则结点 i 肯定没有左孩子（为叶子结点）；否则其左孩子是结点 2*i 。
3. 如果 2*i+1>n ，则结点 i 肯定没有右孩子；否则右孩子是结点 2*i+1?

四.总结

二叉树的原理：取中间一个数，大于的右移，小于的左移。每次减半。

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