[数据结构与算法]数据结构—完全二叉堆

1. 简介

• 完全二叉堆可用于实现优先队列。

• 当然，使用数组或列表也可以实现优先队列，但通常需要先将其中的所有数据进行排序才可，即首先维护一种全序关系。

• 但事实上，优先队列只要能够确定全局优先级最高的 entry 即可，而不要求全局先有序。

• 完全二叉堆无需先对所有数据进行排序即可确定全局优先级最高的 entry，因此更加适用于优先队列的实现。

2. 定义

• 结构性：完全二叉堆的逻辑结构就是一棵完全二叉树，但堆可以使用数组来实现。

• 堆序性：对于最小堆来说，堆中每个父节点都要小于等于其子节点；对于最大堆来说，堆中每个父节点都要大于等于其子节点。

• 设节点总数为 $n$，则堆的高度为 $O(\log n)$，插入操作、删除优先级最高的 entry 的操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$。

• 假设自顶向下对堆的每一层、从左到右对每个节点进行编号，且编号从 0 开始，则有：

  • 假设节点 $x$ 的编号为 $i$，且存在左右孩子，则 $x$ 的左孩子的编号为 $2i+1$，右孩子的编号为 $2i+2$；
  • 假设节点 $x$ 的编号为 $i$，且存在父节点，则其父节点的编号为 $?(i?1)/2?$。

以下以最小堆为例。

3. 插入

假设待插入的 entry 为 $e$。

（1）首先在堆尾之后的一个位置插入一个新节点，并存储 $e$；
（2）假设当前节点为 $x$（初始时，$x.entry=e$），其父节点为 $p$；
（3）如果 $p.entry\le x.entry$，则成功返回；否则，
（4）上虑：如果 $x.entry<p.entry$，则令 $x.entry$ 和 $p.entry$ 互换位置，然后令 $x$ 指向 $p$，令 $p$ 指向 $p$ 的父节点，接着回到步骤（3）。

4. 删除

待删除的 entry 总是位于堆顶。

（1）首先，交换堆顶和堆尾的 entry，然后将堆的大小减一（堆尾前移），以删除堆顶元素（被删除的元素位于堆尾之后的一个位置）；
（2）令当前节点为 $p$（初始时，$p$ 为堆顶）；
（3）令 $x$ 为 $p$ 的两个孩子节点中较小的一个；
（4）如果 $p.entry\le x.entry$，则成功返回；否则，
（5）下虑：如果 $x.entry<p.entry$，则令 $x.entry$ 和 $p.entry$ 互换位置，然后令 $p$ 指向 $x$，接着回到步骤（3）。

5. 建堆

如下图所示，假设 $H_0,H_1$ 是两个最小堆，现欲将节点 $p$ 和最小堆 $H_0,H_1$ 合并为一个新的最小堆。

所需操作是：

（1）令 $H_0$ 为 $p$ 的左孩子，$H_1$ 为 $p$ 的右孩子；
（2）接着，从 $p$ 开始执行下虑操作即可。

因此，给定一个数组，其大小为 $n$，现欲使用它构建一个最小堆所需的操作为：

（1）设当前节点为 $x$，其节点编号为 $m$，初始时，$x$ 为堆的最后一个内部节点，编号为 $m\leftarrow ?(n?2)/2?$；
（2）如果 $m<0$，则返回；否则，从 $x$ 开始执行下虑操作（先将子树 $x$ 转换为一个最小堆）；
（3）接着将 $x$ 指向前一个内部节点，其编号为 $m\leftarrow m?1$，然后回到步骤（2）。

上述建堆操作的时间复杂度为 $O(n)$。

6. 堆排序

总体而言，堆排序的过程为：对堆执行 $n$ 次删除操作，因此其时间复杂度为 $O(n\log n)$。

因为每次删除操作都会将被删除的堆顶元素放到堆尾，而且堆的大小也在不断地减一（堆尾随之不断地向前移动），因此，最后的数组将包含排序后的元素。

对于最小堆来说，堆排序的直接结果是逆序的；而对于最大堆来说，则是顺序的。