一、计数排序的基本思想

计数排序是一个非基于比较的排序算法，该算法于1954年由 Harold H. Seward 提出。它的优势在于在对一定范围内的整数排序时，它的复杂度为Ο(n+k)(其中k是整数的范围)，快于任何比较排序算法。当然这是一种牺牲空间换取时间的做法，而且当O(k)>O(nlog(n))的时候其效率反而不如基于比较的排序(基于比较的排序的时间复杂度在理论上的下限是O(nlog(n)), 如归并排序，堆排序)
计数排序的基本思想是对于给定的输入序列中的每一个元素x，确定该序列中值小于x的元素的个数(此处并非比较各元素的大小，而是通过对元素值的计数和计数值的累加来确定)。一旦有了这个信息，就可以将x直接存放到最终的输出序列的正确位置上。例如，如果输入序列中只有17个元素的值小于x的值，则x可以直接存放在输出序列的第18个位置上。

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二、代码实现

void CountSort(int* a, int n)
{
	int max = a[0], min = a[0];
	for (int i = 0; i < n; i++)//找出数组中最大数和最小数，以便后续判断范围
	{
		if (a[i] > max)//找大
		{
			max = a[i];
		}
		if (a[i] < min)//找小
		{
			min = a[i];
		}
	}
	int range = max - min + 1;//给出最大数到最小数的范围，例如最大为10，最小为1,但我们发现1到10之间有10个数(包括1和10)，所以这里需要加1
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int)*range);//开辟能存放range个数的空间(类型为int*)
	memset(tmp, 0, sizeof(int)*range);//将空间的每个字节都置为0
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		tmp[a[i] - min]++;//这里用了映射的方式来判断同一个数出现的次数
	}
	for (int i = 0, j = 0; i < range; i++)
	{
		while (tmp[i]--)
		{
			a[j++] = i + min;//拷贝到原数组中
		}
	}
	free(tmp);
	tmp = NULL;
}

如果没有怎么看懂这里的映射方式的，我们就来画图分析：

在这里插入图片描述

总结

我们看到，计数排序算法没有用到元素间的比较，它利用元素的实际值来确定它们在输出数组中的位置。因此，计数排序算法不是一个基于比较的排序算法，从而它的计算时间下界不再是O(nlogn)。另一方面，计数排序算法之所以能取得线性计算时间的上界是因为对元素的取值范围作了一定限制，即k=O(n)。如果k=n^2,n3,…，就得不到线性时间的上界。经计数排序，输出序列中值相同的元素之间的相对次序与他们在输入序列中的相对次序相同，换句话说，计数排序算法是一个稳定的排序算法。
1. 计数排序在数据范围集中时，效率很高，但是适用范围及场景有限。
2. 时间复杂度：O(MAX(N,范围))
3. 空间复杂度：O(范围)
4. 稳定性：稳定