?背景

????????作为一名非数学专业本科生。在大一大二学习了高等数学、线性代数等课程，对微分方程的数值求解等问题有了一些初步的认识。在本学期开设的计算机辅助几何技术基础中，我们学习了样条曲线、Bezier曲线、B样条曲线等知识。我发现许多式子的求解都会转化为三对角线性方程组的求解。故本篇文章就是我对于该问题的解决方法的一些整理，以及在我们的专业课程——CAGD中的应用，并谈谈自己的理解。

? ? ? ? 为何要探讨这个问题，源于我们CAGD课程老师云笔记中的一个B样条曲线的例题：

????????这让我想起了我们好像不止一次遇到过三对角线性方程组的问题。所以就有了这篇文章的由来。（其实我只是个搬运工）

三对角线性方程组(tridiagonal systems of equations)? ? ?

????????三对角线性方程组可描述为以下方程组：?

$a_{i}x_{i-1}+b_{i}x_{i}+c_{i}x_{i+1} = d_{i}$

?????????其中 $1\leq i\leq n,a_{1}=0,c_{n}=0$ ?，以上方程组写成矩阵形式为 $Ax = b$ ，即：

?????????三对角线性方程组的求解采用追赶法或者Thomas算法，它是Gauss消去法在三对角线性方程组这种特殊情形下的应用，因此，主要思想还是Gauss消去法，只是会更加简单些。我们将在下面的算法详述中给出该算法的具体求解过程。?

? ? ? ? 我们平时接触的最多的方法应该也就是追赶法了，该算法对于部分系数矩阵A是可以求解的。所以以下先给出追赶法的实现方法。

算法详述

????????追赶法或者Thomas算法的具体步骤如下：

1、创建新系数 $c_{i}^{*}$ 和 $d_{i}^{*}$ 来代替原来的 $a_{i},b_{i},c_{i}$ ,公式如下：

$c_{i}^{*}=\left\{\begin{matrix} \frac{c_{1}}{b_{1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;i = 1\\ \frac{c_{i}}{b_{i}-a_{i}c_{i-1}^{*}};i = 2,3,...,n-1 \end{matrix}\right.$

$d_{i}^{*}=\left\{\begin{matrix} \frac{d_{1}}{b_{1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;i = 1\\ \frac{d_{i}-a_{i}d_{i-1}^{*}}{b_{i}-a_{i}c_{i-1}^{*}};i = 2,3,...,n-1 \end{matrix}\right.$

2、改写原先的方程组 $Ax = b$ 如下：

(ps:小白实在不会打latex的矩阵了呜呜，在学了！)

?3、计算解向量 $x$ ，如下：

$x_{n} = d_{n}^{*},x_{i} = d_{i}^{*}-c_{i}^{*}x_{i+1}, i = n-1,n-2,...,2,1$

????????以上算法得到的解向量x即为原方程 $Ax=b$ 的解。

????????下面，我们来证明该算法的正确性，只需要证明该算法保持原方程组的形式不变。?
????????首先，当 $i = 1$ 时，?

$1 \ast x_{1}+c_{1}^{*} x_{2} = d_{*}^{1}\Leftrightarrow 1\ast x_{1}+\frac{c_{1}}{b_{1}}x_{2} = \frac{d_{1}}{b_{1}}\Leftrightarrow b_{1}\ast x_{1}+c_{1}x_{2} = d_{1}$

? ? ? ? 当 $i>1$ 时，

$1 \ast x_{i}+c_{1}^{*} x_{2} = d_{*}^{1}\Leftrightarrow 1\ast x_{i}+\frac{c_{i}}{b_{i}-a_{i}c_{i-1}^{*}}x_{i+1} = \frac{d_{i}-a_{i}d_{i-1}^{*}}{b_{i}-a_{i}c_{i-1}^{*}}\Leftrightarrow (b_{i}-a_{i}c_{i-1}^{*})x_{i}+c_{i}x_{i+1} = d_{i}-a_{i}d_{i-1}^{*}$